杨辉

摘要：巴特沃斯滤波器具有通频带内的频率响应曲线最大限度平坦、没有纹波、而在阻频带则逐渐下降为零的优点。本文从巴特沃斯滤波器的传递函数着手，针对特定设计参数通过双线性变换完成了数字滤波器的设计，最后通过仿真分析，展示了巴特沃斯滤波器在幅值衰减与相位滞后的特点，为工程技术人员在滤波器的选择与设计上提供参考。

关键词：巴特沃斯滤波器；传递函数；双线性变换

0引言

巴特沃斯滤波器（Butterworth Filter）也被称作最大平坦滤波器。其特点是在通频带内，其频率响应曲线最大限度平坦、单调递减无波纹产生；而在阻频带内，其频率响应曲线逐渐下降为零。这些优点使其在信号处理领域有着广泛的应用。对于滤波器的性能一般考虑其幅频特性，但对于更深层次的信号处理应用方面，滤波器的相频特性也是其重要特性之一。尤其是在多点激励、载荷建立以及传递路径识别等方面问题的研究中具有重要作用。

1巴特沃斯滤波器传递函数分析

连续时间巴特沃斯低通滤波器可用式（1）表示。

式中：B（jω）为连续时间巴特沃斯传递函数，ω为频率，ωC 为滤波器截止频率，N 为阶数，该滤波器 Bode 图如图1所示。

将式（1）转换为 Laplace 域分析，即令 s=jω，可得到式（2）。

图1巴特沃斯滤波器Bode图

求解式（2）的极点，可得式（3）。

对极点作归一化处理，即令：

作归一化巴特沃斯滤波器的拉普拉斯域平面，可以得到2N个以虚轴Im对称的极点，以 N=3为例其极点分布如图2所示，所有极点都均分在以原点为中心的单位圆上。

为形成因果稳定系统，取左半平面极点构建式（5）的传递函数。

其中多项式系数 bi 可构为建归一化 N 阶巴特沃斯滤波器的传递函数系數，不同阶数系数如表1所示。

对应不同阶数 N，绘制归一化巴特沃斯滤波器Bode 图如图3所示。

2数字滤波器设计实例

现以表2所述滤波器性能参数，实例设计巴特沃斯型数字滤波器。

针对通带截止频率与阻带截止频率设计要求，建立式（6）与（7）的滤波器设计约束条件。

通过约束条件，可通过式（8）得到理论设计阶数。

由于阶数需为整数，将理论阶数 N*向高阶取整以得到 N，并代入式（9），即可得到截止频率ωC。

经计算，N=4，ωC=5.275 kHz，通过归一化滤波器系数，即可表得到滤波器的传递函数为式（10）。

采用双线性变换法，即通过式（11）完成 s 域到 z域的映射。由此即可得到在采样频率下的数字滤波器传递函数。

3 滤波器的仿真分析

仿真过程中，通过构建两路不同频率正弦波信号x1 和 x2 进行叠加作为输入，其中 x1 为 300 Hz，x2 为15 kHz。按图 4 所示原理图，将叠加信号通过采样器采样后输入数字滤波器，通过示波器分别显示原始叠加信号、低频信号与滤波信号的波形。

通过图 5 的波形分析可以看出，该滤波器可以很好的将高频信号滤除，滤波信号的波形基本能够还原输入的低频信号。只是在幅值上有 0.028% 的衰减，相位上存在 127.433 ?s 的延迟。

4 结束语

本文从巴特沃斯滤波器的设计原理着手，通过极点分析推导了巴特沃斯系数表的构建方法，并分析了设计阶数对滤波器的幅频特性与相频特性所产生的影响。通过结合实例指标参数要求，使用双线性变换法完成了巴特沃斯型数字滤波器的设计。最后通过仿真分析，验证了该数字滤波器的滤波效果，结果表明在通频段信号的幅值有微弱的降低，相位有少量滞后，但总体还原程度较高，效果理想。

参考文献：

[1][美]ALAN V O，等.信号与系统[M].3版.刘树棠，译.北京：电子工业出版社，2013.

[2]龚作豪，沈君凤.巴特沃斯低通滤波器的仿真设计[J].信息通信， 2014（139）：40-41.

[3]仲帅.基于改进粒子群算法的数字滤波器设计及应用[D].长春：吉林大学，2016.