杨 平，余 洁，孙宇贞

(上海电力学院电力与自动化工程学院，上海 200090)

在控制器的设计方法中，除了常规的频域法、根轨迹法和状态反馈极点配置法以外，还有一种标准函数设计法［1］.运用该设计方法时，一旦选定具有最优性能的标准传递函数，并推导出含有已知的受控过程模型参数和待求的控制器参数的闭环系统传递函数，则控制器参数就可通过简单的代数运算算出，既不需要复杂的最优化算法，也不需要大量的整定试验.正是由于这种方法的独特思路和设计的简捷性，近30年来吸引了不少学者对其进行扩展研究，并且取得了大量成果［2-10］.在应用标准函数设计法时，常用的闭环系统标准传递函数主要有两种:ITAE标准传递函数［11］和Butterworth标准传递函数［12］.我国的学者在应用这两种标准传递函数中发现了一些不足，并对其进行了一些完善，包括对ITAE标准传递函数的改进研究［13-16］和对 Butterworth标准传递函数的改进研究［17］.在形式上，所改变的是标准函数的多个系数数值.在实质上的改变有:积分时间域的缩短，重新优化计算，优化方法选用遗传算法，其中最主要的是减少了超调量.在应用标准传递函数法设计控制器的过程中，笔者发现，除了上述两种标准传递函数外，更好用的标准传递函数是多容惯性标准传递函数.

1 常用的闭环系统标准传递函数

1.1 ITAE标准传递函数

ITAE标准传递函数是使系统ITAE指标最小的闭环系统传递函数.根据文献［13］，1型系统的ITAE标准传递函数为:

其1至8阶函数的各系数值见表1.

2型系统的ITAE标准传递函数为:

其2至6阶函数的各系数值见表2.

表1 1型系统的ITAE标准传递函数1至8阶的系数值

表2 2型系统的ITAE标准传递函数2至6阶的系数值

在应用这些标准传递函数之前，先要设定闭环系统的自然振荡频率ωn，这个参数决定了闭环系统的快速性能(即闭环系统频率特性带宽).确定ωn时，既要追求快速理想性能，又要顾及实际的物理约束，因此需要经过数次的试凑.

1.2 Butterworth标准传递函数

Butterworth标准传递函数是通过将系统极点均匀地配置在根平面中以原点为中心、以ωn为半径的左半平面圆周上形成的.根据文献［1］，1型系统的Butterworth标准传递函数也如式(1)所示，但其1至6阶函数的各系数值如表3所示.

表3 1型系统的Butterworth标准传递函数1至6阶的系数值

同样，在应用这种标准传递函数之前，先要设定闭环系统的自然振荡频率ωn.

2 多容惯性标准传递函数

2.1 多容惯性标准传递函数的建立

多容惯性标准传递函数为:

式中:T——惯性单元的惯性时间;

γi——多项式展开函数的系数，i=0，1，2，…，n－1.

式中的系数λi(i=1，2，…，n－1)可根据代数学中的二项式定理推算得到，如表4所示.

由表4可以看出，多容惯性标准传递函数的系数值就是著名的杨辉三角形数阵中不含1的内核部分，推算过程非常简单.例如，n=4时的系数值6可由n=3时的系数3+3得出，n=5时的系数值10可由n=4时的系数4+6得出，以此类推.

表4 多容惯性标准传递函数中的系数λi

当系数 λi(i=1，2，…，n－1)由表4得出后，则系数 γi(i=1，2，…，n －1)可由式(5)求得.

2.2 多容惯性标准传递函数的优势

与ITAE标准传递函数和Butterworth标准传递函数相比，多容惯性标准传递函数有3点优势:建立容易、无超调量和更便于工程应用.

通过多容惯性标准传递函数系数的建立过程，表明该函数的建立远比其他两种标准传递函数简单，而且可以轻松地推算出任意高阶的标准传递函数.

多容惯性标准传递函数所定制的系统只有负实数特征根，自然能实现零超调.而为了将ITAE标准传递函数的超调量压低至5%以下，许多科研人员进行了大量研究.Butterworth标准传递函数的建立虽比ITAE标准传递函数要容易，但它所定制的系统的超调量远大于ITAE标准传递函数，这也是Butterworth标准传递函数在工程中应用较少的原因之一.

应用ITAE标准传递函数和Butterworth标准传递函数时，必须先确定系统的自然振荡频率ωn.而应用多容惯性标准传递函数时，必须先确定惯性单元的惯性时间T.

在理论上，T和ωn只是互为倒数的参数，并无本质差别.但在工程应用上，惯性时间T的物理意义更直观，更容易让工程技术人员掌握.假如，一阶惯性环节的过渡过程时间ts为惯性时间T的3倍，即ts=3T;n阶惯性环节的过渡过程时间ts将为ts=3nT;那么，只要确定了期望的控制系统调整时间ts，就可轻松算得惯性单元的惯性时间 T，即 T=ts/3n.

假设 ωn=T=1，n=6，通过图 1所示的Simulink试验系统(选择标幺系统，输出量无量纲)进行阶跃响应试验，可得到图2所示的结果.

图1 Simulink试验系统

图2 4种标准传递的阶跃响应曲线

由图2可知，当多容惯性标准传递函数的惯性时间T=1时，ITAE标准传递函数的阶跃响应最好，而多容惯性标准传递函数的响应最差.但若将多容惯性标准传递函数的惯性时间改为T=0.5，则多容惯性标准传递函数的响应就成为最好的.由此可见，通过惯性时间T的选择，可以得到期望的理想响应.当然，这个理想响应能否实现，还取决于实际的物理约束条件.

3 结论

(1)在多容惯性标准传递函数的建立过程中，利用了代数二项式定理和杨辉三角形数阵，因此该函数具有了建立简便、易于推广到高阶系统的特点.

(2)多容惯性标准传递函数所固有的无超调性能使其在动态特性上远比ITAE标准传递函数和Butterworth标准传递函数优越.

(3)应用多容惯性标准传递函数所需整定的是惯性单元的惯性时间T，它比ITAE标准传递函数和Butterworth标准传递函数所用的自然振荡频率ωn更易被工程师掌握和应用.

［1］杨平，翁思义，郭平.自动控制原理:理论篇［M］.北京:中国电力出版社，2009:147-151.

［2］项国波.线性定常负反馈控制系统中的ITAE最佳调节［J］.中国科学:A，1980(2):185-192.

［3］雷迅.可控硅直流传动控制系统中的ITAE最佳调节律［J］.自动化学报，1983(7):177-185.

［4］项国波.ITAE最佳控制［M］.北京:机械工业出版社，1986:1-230.

［5］陈明俊.ITAE最优Ⅲ型数字伺服系统［J］.自动化学报，1993，19(2):172-182.

［6］项国波，杨益群，杨启文.一类单容纯时滞系统二次优化控制［J］.信息与控制，1995，24(4):209-214.

［7］王永初.Butterworth滤波器在过程控制中的应用(Ⅱ)［J］.工业仪表与自动化装置，1995(1):10-14.

［8］陈庄金.改进型高鲁棒性校正器的研究［J］.仪器仪表学报，1999，20(3):254-256.

［9］田保峡，苏宏业，褚健.基于状态估计的PID控制器整定方法研究［J］.仪器仪表学报，2000，21(5):477-480.

［10］王伟，郑耀林.一种采用Butterworth滤波器原理设计的具有高鲁棒性的状态反馈系统［J］.电子测量与仪器学报，2001，15(4):16-20.

［11］GRAHAM D，LATHROP R C.The synthesis of optimum transient response criteria and standard forms［J］.AIEE Trans，1953(2):273-275.

［12］SCHUKTZ W C，RIDEOUT C V.Control system performance measures:past，present and future［J］.IRE Trans Automatic Control，1961，26(2):270-275.

［13］李镇铭.环路法及最佳状态反馈系统设计［M］.北京:国防工业出版社，1988:1-200.

［14］杨益群，项国波.新的ITAE最佳传递函数标准型［J］.信息与控制，1999，26(4):259-265.

［15］张志涌，刘瑞桢.对经典ITAE传递函数标准型的研究［J］.福州大学学报，1977，25(3):120-121.

［16］李钟慎，位移无静差最优传递函数的研究［J］.自动化博览，2007(2):82-84.

［17］洪健，李钟慎.改进的Butterworth最佳传递函数标准型［J］.计算技术与自动化，2005，24(2):13-15.