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运用线段双中点问题类比双角平分线问题

2022-01-26高倩

初中生世界·初中教学研究 2022年1期
关键词:平分平分线射线

高倩

几何教学是初中数学教学的重点,也是数学课堂教学的重要组成部分。几何问题中出现最多的就是中点、中线和角平分线,然而初入中学的学生缺乏这些意识,在面对几何问题时,不能第一时间构造辅助线来解决。在学习双角平分线时,学生们常常一知半解,应用起来也不够熟练。为了解决这一问题,教师在平时教学过程中可以采用类比法,让学生在掌握线段双中点问题的基础上类比双角平分线,通过不断训练,培养学生的类比意识,为接下来的应用做好铺垫。

一、类比学习基本概念

想要学好几何知识,并将其进行应用,首先要对几何知识的基本概念进行掌握和内化。当学生在初学新概念时,常常难以理解,这时教师可以结合学生的基本学情,运用旧知识来类比新知识,消除学生的陌生感,促进学生对新知识的理解。这一过程,不仅有利于学生的思维转化,还有利于学生构建新的知识框架,为接下来的应用铺平道路。

以“双角平分线问题”为例,学生知道什么是角平分线——从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,這条射线叫作这个角的角平分线。但是对于什么是双角平分线,学生很难理解。这时,教师为学生展示线段双中点问题的概念:已知两条相邻线段的中点,求两个中点之间的距离,叫作线段双中点问题。笔者再引导学生运用类比法思考和探讨双角平分线问题,最终总结出概念:已知两个相邻角的角平分线,那么,求这两个角平分线组成的角的度数,叫作双角平分线问题。经过类比,不仅降低了理解的难度,还让学生对双角平分线问题有了清晰的认识,同时,也让学生树立了类比思想。学生通过已有的知识来类比未知的内容,从而提升了学习能力,为今后的发展奠定基础。

二、类比掌握判定方法

在掌握了基本的概念后,学生在解答这类题目时,要明确线段双中点问题和双角平分线问题的判定,巩固理解概念。掌握判定方法有利于学生在面对相同问题时,能够从容解答,完善自身的知识框架。同时,判定方法的类比降低了学生的学习难度,为完善几何体系提供了一定的保障。

例1 若点M在线段AB上,点N在线段BC上,则下列等式中:①AM=BM;②AM=[12]AB;③AB-AM=CM;④CN=[12]BC,能说明点M和点N分别是线段AB和BC中点的有( )。

A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④

在判断点M和点N是否为AB和BC的中点时,需要结合线段双中点问题的概念。首先,两条线段必须是相邻的线段;其次,点M平分AB,即AM=MB,同样N点平分BC,即BN=NC;最后,根据分析选择正确的选项B。学生在得出这一结果后,笔者运用类比的方法引出双角平分线的判定。

例2 若AE为∠BAC内的一条射线,AF为∠CAD内的一条射线,则下列等式中:①∠BAE=[12]BAC;②∠BAE=∠BAD-∠EAD;③∠BAC=[12]∠BAC+∠BAE;④∠FAC=∠CAD-∠DAF,能说明射线AE是∠BAC角平分线,射线AF是∠CAD角平分线的有( )。

A.① B.①②③ C.①④ D.①②③④

在作答例2时,学生同样可以从双角平分线问题的概念进行分析:因为射线AE是∠BAC的角平分线,那么∠BAE=∠EAC=[12]∠BAC;同理,射线AF是∠CAD的角平分线,那么∠CAF=∠DAF=[12]∠CAD。得出结论后,再运用逆向思维去选项中找到答案,最后选择正确的选项C。

通过对比,我们发现线段双中点和双角平分线的判定方法类似。首先,我们需要根据概念判断线段的中点和角的平分线;其次,将相邻线段的中点和相邻角的平分线进行融合;最后,从定义上找出线段双中点和双角平分线。

三、类比探究相关习题

为了检验学生对双角平分线的理解和掌握,并且培养学生的数学思维,教师在讲述线段双中点题目时,可以运用类比法引出双角平分线题目,让学生在作答时对比其中的相似之处,在不断的探究和分析中,掌握其中的内涵和方法,从而实现知识迁移。最后,通过最简洁和熟悉的手段将问题解决,提升学生解决问题的能力。这一过程的开展不仅让学生巩固了线段双中点的知识,还优化了学生对双角平分线的内容的学习,最终将新旧知识进行融合,完善了自身的知识框架和数学体系。

例3 已知线段AB=10cm,C为直线AB上一点,M、N分别为AC、BC的中点,若BC=4cm,求MN的长。

经过思考后,学生写出了解题过程:

①当C点在线段AB中间时,∵AB=10,BC=4,∴AC=AB-BC=6,∵M是AB线段的中点,N是BC线段的中点,∴MC=[12]AC=3,CN=[12]BC=2,∴MN=MC+CN=3+2=5(cm);

②当C点不在线段AB中间时,AC=AB+BC=14,∴MC=[12]AB=5,BN=[12]BC=2,∴MN=MC+BN=5+2=7(cm)。

故MN的长为5cm或7cm。

笔者看到学生的解题思路很清晰,解答过程也很顺利,于是进行了知识迁移。

例4 已知∠AOB=60°,∠BOC=40°,OM、ON分别为∠AOB、∠BOC的角平分线,求∠MON的度数。

在作答例4时,笔者提示学生同样用类比的方法解题。于是,学生们模仿例3进行了作答,具体过程如下:

①当OC在∠AOB内时,∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°-40°=20°,∵OM,ON分别平分∠AOC和∠BOC,∴∠MOC=[12]∠AOC=10°,∠NOC=[12]∠BOC=20°,∴∠MON=∠MOC+∠NOC=10°+20°=30°;

②当OC不在∠AOB内时,∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+40°=100°,∵OM,ON分别平分∠AOC和∠BOC,∴∠MOC=[12]∠AOB=30°,∠NOB=[12]∠BOC=20°,∴∠MON=30°+20°=50°。

故∠MON=30°或50°。

通过类比例3,学生的思维得到了发展,从而在面对双角平分线问题时,困难也能够迎刃而解。为了巩固学生对双角平分线的认识,笔者增加了类比训练:

1.已知线段AB=10cm,点C在线段AB上,BC=6cm,M、N分别为线段AB、BC的中点,求MN的长。

2.已知∠AOB=100°,∠BOC=70°,OM、ON分别平分∠AOB和∠BOC,求MON的度数。

四、教学反思

综上所述,类比教学在几何课堂中的应用有利于学生对几何知识的掌握和内化。因此,在平时的教学过程中,教师要注意结合学生的基本学情和认知规律,让学生在类比的过程中拓展几何思维,通过构建新旧知识之间的联系,最终形成知识框架,为今后的成长和发展奠定基础。类比思想除了在线段双中点问题和双角平分线问题上进行应用外,还可以在其他的几何知识中应用。所以,教师需要做更深入的研究和探讨,为学生构建高效课堂,让学生真正地喜欢上数学。

(作者单位:江苏省南京市第二十九中学天润城分校)

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