罗万春

(陆军军医大学 数学教研室，重庆 400038)

当一个国家或地区60岁以上老年人口占人口总数的10%或65岁以上人口占总人口的7%以上时即认为该国家或地区人口处于老龄化社会。截至2018年，重庆市常住人口3 102万人，在年龄结构方面，常住人口中0～14岁人口为525.3万人，占比16.9%；15～64岁人口2 127.9万人，占比68.6%；65岁及以上人口 448.9万人，占比14.4% ，老龄化较为严重。人口老龄化使得疾病风险群体数量越来越大，疾病经济负担也随之增长[1-5]。

1 灰色预测原理

灰色模型(Grey Model)是对离散随机数进行削弱随机性、增强规律性、从而产生新的生成数、建立微分方程形式的模型[6]。GM(1，1)是一阶微分方程模型，且只含有1个变量的灰色模型，其原理及求解方法如下：

设已知数据序列为：

x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n))

(1)

生成累加序列：

x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n))

(2)

计算均值序列：

(3)

则灰微分方程为：

x(0)(k)+az(1)(k)=b(k=2,3,…,n)

(4)

相应的白微分方程为：

(5)

利用最小二乘法，方程(5)的求解结果为：

(6)

2 重庆市人口中短期预测

2.1 数据集

数据来源于中国国家统计年鉴，含有2005-2018年的重庆市总人口、抽查人口数、抽查人口中0～14岁人口、15～64岁人口、65岁以上人口、总抚养比、老年人抚养比、少年儿童抚养比等8个条目，其中2010年的数据缺失。

2.2 数据处理

2010年的缺失数据用样条插值补充。根据灰色预测模型的数据要求，用2005-2018年的相关数据建立模型，预测2019-2028年的人口相关数据。

2.3 求解结果

根据GM(1，1)原理(1)～(6)，用MATLAB2018编程求解，结果如下。

图1 重庆市总人口的预测结果Fig.1 Prediction results of total population of Chongqing City

图2 0～14岁人口预测结果Fig.2 Prediction results of population of 0～14 years old

图4 65岁以上人口预测结果Fig.4 Prediction results of population of over 65 years old

图5 总抚养比预测结果Fig.5 Prediction results of total dependency ratio

从表1和表2可以看出，每年的相对误差和级比偏差都小于0.1，因此，从模型角度来说，精度达到了较高要求，可以外推用于其他时间点的预测。但是，总抚养比的可决系数只有0.221 3，拟合效果不好。从数据散点图可以看出，2011年以前和以后的变化趋势正好相反，由于灰色预测可以有效地对小样本数据进行建模，因此，以2011之后的数据建模分析来进行修正。该修正方法同样适用于0～14岁人口预测和老年人口抚养比预测。

表1 每年的相对残差Tab.1 Annual relative residual

表2 每年的级比偏差Tab.2 Annual level deviation

由表3和表4可以看出，所有的相对残差和级比偏差都小于0.1，说明模型精度达到要求。

图6 修正后总抚养比预测结果Fig.6 Prediction results of modified total dependency ratio

图7 修正后老年人口抚养比预测结果Fig.7 Prediction results of modified elderly dependency ratio

图8 修正后0～14岁人口预测结果Fig.8 Prediction results of modified 0～14 years old population

图9 修正后0～14岁人口抚养比预测结果Fig.9 Prediction results of modified 0～14 years old population dependency

图10 65岁以上人口占总人口的比例Fig.10 Ratio of over 65 years population on total population

表3 相对残差Tab.3 Relative residual

表4 级比偏差Tab.4 Level deviation

由表5可知，总人口、15～64岁人口、65岁以上人口、修正后总抚养比、老年人口抚养比的可决系数较高，可以作为预测模型。修正后，虽然0～14岁人口可决系数没有增加，但是其变化趋势更加合理。

表5 重庆市2019-2028年预测结果Tab.5 Prediction results of Chongqing City from 2019 to 2028

3 讨论

如果没有新的政策出台，重庆市人口老龄化会继续加剧，65岁以上的人口比例远大于7%的老龄化标准。重庆市老年人口抚养比继续加大，给家庭和社会带来的负担加剧。0～14岁人口变化波动较大，没有很明显的规律，但是自2013年以后抚养比逐渐回升，2015年之后上升明显，可能和“单独二胎”和“全面二胎”政策的影响有关。随着“全面二胎”政策的持续影响或进一步放开生育政策，老龄化进程可能会放缓。