魏锋涛 史云鹏 张洋洋 黎俊宇 高新勤

(西安理工大学机械与精密仪器工程学院，陕西 西安710048)

面对复杂工程优化问题时，由于不能求出各变量之间的具体显式关系，难以利用常规方法进行优化设计，组合近似模型技术是将多个单一近似模型组合起来的技术，因其具有较高的精度和稳定的鲁棒性引来了国内众多学者的研究。Bi Shop CM等[1]在利用神经网络建立近似模型技术时首次提出组合近似模型技术的概念，通过将单一近似模型技术的优势结合起来，有效避免了实际复杂工程问题中因单一模型精度不够造成的误差较大等问题。在国内，李志华等[2]为了提高近似模型技术的预测精度和稳定性，采用留一交叉验证策略和预测平方和P来计算初始权因子，并且通过迭代更新权因子，直到满足精度需求为止。黄焕军等[3]发现组合近似模型技术无论是精度还是鲁棒性都要优于单一模型，最后利用组合近似模型技术建立了车身结构多学科的设计优化模型，改善了汽车的安全性能。童水光等[4]利用3个单一近似模型技术构建组合近似模型技术，用交叉验证均方差为目标函数计算权因子，构建内燃叉车外门架的近似模型技术，降低了外门架的质量和最大应力。在国外，Fang J等[5]为了获得最大化卡车驾驶室的疲劳寿命，用组合近似模型技术构建卡车驾驶室的优化模型，并与单一近似模型技术对比，发现组合近似模型技术能获得更好的结果并且节约了成本。Qi Ouyang等[6]采用将最优设计推入可行区域的保守策略来解决近似模型技术的不确定性，使用多基因遗传规划、Kriging和支持向量回归构建耗时的多相流模型的替代模型，结果表明该方法解决了近似模型技术的不确定性。

通过上述分析，鉴于径向基近似模型技术计算精度和效率较低，本文研究一种基于径向基组合近似模型技术，以改进径向基近似模型为基础构建组合近似模型技术，并以SZJY-14型加工中心的立柱作为研究对象进行结构优化设计，以验证本文所提方法的有效性。

1 基于径向基的组合近似模型技术

1.1 基于多策略的径向基近似模型技术

1.1.1 动态加点策略

为了提高样本点的质量，设计了一种基于全局最优解、移动变区域的局部采样和基于置信度的全局采样策略多种集成策略。首先，利用具有组合变异策略的回溯搜索优化算法(backtracking search optimization algorithm with combined mutation strategy, CMBSA)[7]对预测模型全局寻优，找出全局最优点并将其作为添加点；随后以最优解为中心在其附近范围内抽样；最后利用U函数找出置信度最大点，并在其附近进行抽样，通过以上策略来提高径向基近似模型技术的精度。

(1)全局最优解的加点策略

该策略通过CMBSA算法对预测模型进行全局寻优，找出近似模型技术的全局最优点，并将最优点添加到初始样本点中构建新的样本点，通过最优点的引导，提高了近似模型技术的构建效率和精度，其求解模型如式(1)所示：

minf(x)

s.t.xL,i

(1)

其中：f(x)是目标函数;xL,i和xu,i分别是x的下界和上界。

(2)移动变区域的局部采样策略

该策略先通过CMBSA算法找出预测模型的最优解x*，随后找出当前样本点的最优值xbest，并计算出模型的最优解x*和当前样本点的最优值xbest的距离d，如式(2)所示：

(2)

其中：n为样本点的维数。

同时计算x*和xbest的响应值，并比较它们的大小，将响应值小的点作为抽样中心，以d为半径进行抽样，具体如式(3)所示：

(3)

(3)基于置信度的全局采样策略

(4)

其中：μk(x)是径向基近似模型技术的预测值，σk(x)是预测标准偏差。通过上式虽然可以找出置信度最大的点，但是上式只考虑了样本点预测值的信息并没有考虑样本点的真实响应值，如果近似模型技术预测精度较低则会导致预测值与真实响应值误差较大，那么只考虑预测值信息的U函数是不完整的。针对此问题，对现有的U函数进行改进，具体如式(5)所示：

(5)

改进后的U函数同时考虑了预测值和真实响应值的信息，能准确地找出置信度最大的点xz，然后以xz为中心，以D1为半径进行多次抽样，并且将每次的抽样点记录下来。

1.1.2 融合基函数策略

在影响径向基近似模型技术的因素中，基函数对模型的预测精度影响是非常重要的，考虑到各个基函数的特点，选择高斯函数和逆多二次型函数作为基础函数构建组合基函数，具体如式(6)所示。

(6)

其中：w1、w2是权系数,ε为形状参数。

为了完全发挥各个基函数的优点，本节调用CMBSA算法对目标函数在定义域内进行寻优，选用留一交叉验证法作为算法的优化目标函数，找出使得误差最小的参数组合。详细求解模型如式(7)所示：

minf(w1、w2、ε)

(7)

1.2 构建基于径向基的组合近似模型技术

组合近似模型技术又称为加权平均近似模型技术，其一般表如式(8)所示：

(8)

为了进一步提高近似模型技术的预测精度与计算效率，以改进径向基近似模型和Kriging近似模型为基础，构建组合近似模型技术，利用交叉验证均方差最小化方法(EA法)[8]计算权系数wi，具体如式(9)所示：

(9)

其中：GMSEEN为组合近似模型技术交叉验证均方差值;yEN是除过点xk之外，其他点构建的近似模型在xk处的预测响应值;yactual为点xk处的真实响应值。

2 建立立柱优化模型

2.1 立柱载荷计算

SZJY-14型加工中心可以很多类型零件，并可以加工铣削、镗削和钻削等工艺。在优化问题中，选择铣削工况为研究对象[10]。在加工过程中，刀具采用立铣刀，不对称逆铣，故其受到的圆周铣削力FZ=2 662.776 N，分别是铣削力Fa，背向力FV和进给力FH，按照铣削时各分力与圆周力的比值，计算各分力的具体数值，如式(10)所示：

(10)

其中：横梁和主轴箱自重约为1 400 N。

2.2 立柱特性分析及优化目标确定

将立柱三维模型导入Abaqus中建立其有限元模型，将四面体作为网格划分的基本单元。立柱基本尺寸为：长度550 mm、宽度450 mm、高度1 753 mm、外壳壁厚30 mm、筋板厚度25 mm、筋板高度50 mm、工艺孔D1直径70 mm和工艺孔D2直径50 mm。立柱所用材料为HT250，密度为7 210 kg/m3、弹性模量为1.38×105MPa和泊松比为0.3。

为了提高计算精度同时兼顾计算效率，选择四面体为基本体，网格大小为40 mm，产生的节点数为67 137个，单元数为36 836个，具体有限元模型如图1所示。

(1)静力学分析

通过Abaqus对立柱进行静力学分析，获得立柱的应力、应变和位移云图，具体结果如图2～4和表1所示。

由图2～4和表1可知，立柱的应力最大值为2.735 MPa，应变最大值为1.598×10-5mm，查表可知，HT250材料的许用应力为220 MPa，其应力最大值远小于许用应力，从应力云图和应变云图上看，应力应变分布较为均匀，并无应力集中现象。立柱最大变形量为1.441×10-2mm，此工况下能够保证正常的稳定性和加工精度，证明立柱结构尺寸还有非常大的优化空间。

表1 立柱静态分析结果

(2)模态分析

模态分析可以了解立柱在工作状态中是否会发生共振现象，本节绘制了立柱前四阶固有频率和振型，具体如图5和表2所示。

由对图5和表2可知，立柱的一阶频率为100.7 Hz，而该数控机床加工零件时主轴的震动频率为30～60 Hz，两者相差较大，所以在工作过程中，不会发生共振现象。但是从图5看，立柱在前四阶频率分析中均发生了不同程度的震动及变形，这说明立柱的动刚性不足，需要对其进一步优化。

表2 立柱前四阶模态数据

2.3 确定优化设计变量

针对实际工程优化问题参数较多的现象，本节选择单因素灵敏度分析法[11]对立柱优化问题中的参数进行简化，假设有m个因素x=(x1,x2,...,xm)T，其各因素的响应值为y=(y1,y2,...,ym)T，只让第i(i∈m)个因素变化Δ，则变化后的响应值为y′=(y1,y2,...,yi+Δ,...,ym)T，则xi的灵敏度值如式(11)所示：

(11)

利用单因素灵敏度分析法，以一阶频率、最大变形量和质量为目标进行灵敏度分析，具体如图6所示。

由图6可以看出，外壳壁厚、筋板厚度和筋板高度的尺寸变化对立柱的质量、最大变形量和一阶频率影响较大，故以这3个变量作为优化设计变量，并依次记为x1、x2、x3。

2.4 建立优化设计模型

通过对立柱静动态特性分析和灵敏度分析，确立了优化目标与变量，其具体如下：

(1)优化设计变量

通过对立柱各尺寸变量进行灵敏度分析，得出外壳壁厚、筋板厚度和筋板高度对立柱的静动态特性影响较大，故以这3个变量作为优化设计变量，并依次记作x1、x2、x3且12≤x1≤48、10≤x2≤40和20≤x3≤80。

(2)目标函数

通过分析，以立柱质量、一阶频率和最大变形量为优化目标，其对应权系数分别为w1、w2和w3，具体优化模型如式(12)所示：

minF=w1Fm(X)-w2Ff1(X)+w3Fd(X)

(12)

其中：w1=0.5、w2=0.25和w3=0.25[12]。

3 立柱结构优化设计

3.1 近似模型构建

利用拉丁超立方设计方法抽取50个样本点，并利用Abaqus软件获取样本点的真实响应值，另外再抽取1组样本点用于验证构建模型的误差，如表3和表4所示。

表3 实验样本点及真实响应值

表4 检验样本点与真实响应值

构建模型过程中，共添加样本点个数为7个，为了更生动地体现出组合近似模型技术构建的近似模型拟合性能，以表中样本点作为检验点，将实际响应值与预测值进行对比，如图7所示。

由图7可知，添加样本点后的模型预测值比初始状态更接近真实响应值，证明了加点后的组合近似模型技术的预测精度更高。

由图7可知，添加样本点后的模型预测值比初始状态更接近真实响应值，证明了加点后的组合近似模型技术的预测精度更高。

3.2 立柱优化设计

利用组合近似模型技术构建立柱模型并调用CMBSA算法对模型进行寻优，首先对算法的参数进行设定，具体如表5所示。

表5 CMBSA算法参数设置

利用CMBSA算法对构建的模型迭代200次寻优，得到一组最优参数组合并重新构建立柱模型，在Abaqus里对其进行有限元分析，获得立柱静动态性能，具体如表6所示。

表6 优化结果对比

从表6可看出，优化后的质量较优化前减少了3.77%；最大变形较优化前减少了5.14%；一阶固有频率优化前提高了5.9%，总体上看，组合近似模型技术的优化效果显著，在减小立柱质量的情况下保证了立柱的静动态性能。

为了更直观地体现优化后立柱的结构性能，对立柱进行了静动态性能分析，具体如图8和图9所示。

经过对优化后立柱静动态特性分析，立柱的性能得到很好地改善，同时质量明显减小，达到了此次优化的预期效果，同时也验证了组合近似模型技术的有效性。

4 结语

针对径向基近似模型技术预测精度和效率较低等问题，提出一种基于多策略的径向基近似模型技术，并以改进径向基近似模型为基础构建基于径向基的组合近似模型技术，将其应用于立柱的结构优化设计问题中。选取SZJY-14型加工中心的立柱作为研究对象，利用组合近似模型技术建立立柱的近似模型，并调用CMBSA算法对模型优化求解，优化后的立柱质量减小了3.77%，一阶频率提高了5.9%，最大变形量减少了5.14%，实现了立柱结构优化设计，为类似实际工程优化问题提供了一种解决方案。