胡行华,孙文婷

(辽宁工程技术大学 优化与决策研究所,辽宁 阜新 123000)

分数阶微分方程的边值问题在自然科学、控制系统、生物物理学和信号与图像处理等方面有着深广的研究和拓展[1-8],其边值问题解的存在性是1个重要的研究领域。许多学者利用压缩映射原理与不动点的指数等理论,得到了更为重要的研究成果[9-13]。

随着物理学、动力系统学、数学科学等学科中各种各样的非线性问题的出现,序方法在研究非线性问题上起着非常重要的作用。具有序结构的Banach空间是结合代数、拓扑学、序于一体的数学结构,因此对于有序Banach空间的研究具有重要的意义。许多学者对有序Banach空间中二阶、三阶和四阶微分方程解的存在性进行了研究[14-16]。但是目前针对分数阶微分方程的研究,考虑空间为有序Banach空间的研究较少。本文利用凝聚映射上Leray-Schauder不动点定理研究有序Banach空间E上带有分数阶的非线性微分方程的边值问题。

1 基本理论

非线性微分方程

(1)

由于非线性微分方程与所对应的线性微分方程有所关联,因此讨论非线性微分方程式(1)解的存在性,首先讨论Banach空间E中的线性微分方程

(2)

式中:2<α≤3。

对∀h∈C(I,E),方程式(2)存在唯一解

(3)

式中

(4)

若E为有序Banach空间,由下述引理1,式(3)定义的算子T:C(I,E)→C(I,E)为凝聚映射算子。

定义1[5]E1,E2是有序Banach空间,D⊂E1,设A:D→E2连续且有界,如果任意的非相对紧的有界集S⊂D满足α(A(S))≤α(S),那么A是D上的凝聚映射。

引理1[17]E是有序Banach空间,A:E→E凝聚,集合{x|x=λAx,0<λ<1}有界,则A在E中有不动点。

定义映射Q:C2(I,E)→C2(I,E)如下

(5)

α1(B)=max{α(B),α(B′)}

α1(QB)=max{α(QB),α((QB)′)}

(6)

下文将证明该映射为凝聚映射,本文用到有关凝聚映射的3个重要性质。……