武晓朦，时政，付子义，刘欣雨，党建，李飞

（1.西安石油大学 陕西省油气井测控技术重点实验室，陕西 西安 710065；2.河南理工大学 电气工程与自动化学院，河南 焦作 454000；3.中国石油集团安全环保技术研究院 大连分院，辽宁 大连 116031）

0 引言

随着新能源技术的快速发展，大规模间歇性分布式电源接入配电网，对配电网规划、运行与控制产生不同程度影响［1］，分布式电源（distributed generation，DG）出力与负荷需求的不确定性和相关性使配电网运行状态更加复杂多变［2-3］。因此，在面临更多更复杂不确定性因素的新环境下，对DG进行合理规划具有重要的现实意义。

目前，国内外学者已经对配电网中的DG规划展开一系列研究。唐念等［4］利用多状态系统理论得到DG输出功率状态，利用粒子群算法求解配电网多目标扩展模型；李亮等［5］建立考虑网损和缺电损失最小的DG多目标规划模型，由气象资料统计得到各时序场景权重，通过遗传算法求解；王金凤等［6］采用Monte-Carlo方法模拟停电损失，通过结合小生境技术和NSGA-II的多目标粒子群算法优化求解所建立考虑风电投资运行成本、网损和停电损失费用的多目标DG规划模型。

启发式智能算法通用性强，在配电网规划中得到广泛应用，如粒子群算法［4］、遗传算法［5］和模拟退火算法［7］等。但启发式智能算法求解时采取贪婪策略（在每次迭代中保留当前最优值）易陷入局部最优解［8］，当求解问题规模增加时计算效率和收敛性都受到影响。对此，本文在求解算法方面，将支路潮流方程引入规划模型，通过二阶锥松弛将支路潮流约束松弛为一个线性方程组和二阶锥组合。将规划模型转化为混合整数二阶锥规划问题，并通过Yalmip调用Cplex求解器对规划模型求解。

密度峰值快速搜索聚类算法（clustering by fast search and find of density peaks，CFSFDP）是由Alex Rodriguez等在《Science》发表的一种高效聚类算法，相较于其他聚类算法，可以自动确定任意形状数据集合的簇类中心，不需迭代计算，广泛应用于数据挖掘、图像分类等多个领域，但目前在配电网规划领域尚未有文献分析和应用。

1 分布式电源及负荷需求数学模型

1.1 风电模型

一般使用威布尔分布函数拟合风速分布［9］，其概率密度函数如式（1）所示。风机输出的有功功率与风速有关，可近似用式（2）表示。

式中：kn为形状参数；cn为尺度参数；Pwt为风电机组输出功率；Prwt为风电机组额定功率；vi为切入风速；vr为额定风速；vout为切出风速。

1.2 光伏发电模型

光照强度一般服从Beta分布［10-12］，其概率密度函数如式（3）所示。光伏发电机组出力与光照强度有关，可用式（4）近似表示。

式中：I为光照强度；Imax为光照强度最大值；α和β分别为Beta分布参数；Γ为伽马函数；Ppv为光伏发电机组的输出功率；Prpv为光伏发电机组的额定功率。

1.3 负荷需求模型

负荷需求一般服从正态分布［13-15］，如式（5）所示。

式中：Pload，i，μp，i和σ2p，i分别为节点i负荷有功功率随机变量、期望值和方差；Qload，i，μp，i和σ2p，i分别为节点i负荷无功功率随机变量、期望值和方差。

2 相关性样本处理

相关性样本由拉丁超立方抽样和结合Spearman秩相关系数的Cholesky分解经分层采样和相关性排序得到。相较于Person相关系数［16］，Spearman秩相关系数能刻画非正态分布随机变量之间的相关性，可用于描述风速、光照强度和负荷需求之间的相关性。某地区实际源荷样本的Spearman秩相关系数ρobj由历史数据统计得到，其相关系数矩阵为

2.1 分层采样

设采样规模为N1，随机变量个数为k。随机变量xk的概率密度函数如式（7）所示。

首先，将区间［0，1］均分为N1个独立的子区间，各子区间的概率为1/N1。然后，在各子区间内随机选取一个采样点yki（i=1，2，…，N1）。最后，利用函数反变换（式（8））求出各区间采样点xki，得到采样值为k×N1阶的初始采样矩阵S0。

2.2 相关性排序

相关性排序的具体歩骤为：

（1）随机生成一个k×N1阶的矩阵M，M的每行由正整数1，2，…，N1随机排列组成，计算矩阵M顺序矩阵Ml的Spearman秩相关系数矩阵ρm。

（2）对秩相关系数矩阵ρm进行Cholesky分解，如式（9）所示，Q为下三角阵。由式（10）消除由于随机排列造成的相关性。

（3）对实际秩相关系数ρobj进行Cholesky分解，如式（11）所示，L为下三角阵。由式（12）使得Gobj的秩相关系数与ρobj近似相等。

（4）将初始采样矩阵S0按照矩阵Gobj中元素排列顺序重新排序，即得到k×N1阶具有相关性的源荷样本。

3 基于CFSFDP算法的场景削减

CFSFDP算法是一种根据样本密度有效确定簇类中心和个数的聚类算法，适用于任何形状的数据［17］。算法的核心思想是通过截断距离dc引入局部密度ρi和到高局部密度点距离δi，从而确定簇类中心和个数，剩余数据分配至距离最近且局部密度较大数据所在的簇类。该聚类算法有两个特点：簇中心的局部密度大于周围其他数据点的局部密度；不同簇中心之间的距离相对较远。

CFSFDP算法的具体歩骤为：

（1）样本数据集中的数据依次两两计算其距离。

（2）将步骤（1）得到的距离按升序依次排列，设置截断距离dc为距离集合中前1%～2%的距离值。

（3）由截断距离dc按式（13）或（14）和（15）计算局部密度ρi，m为数据点个数，dij为节点i和节点j之间的距离。

（4）计算任意数据点到高局部密度点距离δi。

（5）以ρi为横坐标，δi为纵坐标，画出决策图，将右上方纵横坐标值均较大的数据点选择为簇类中心点；若无法通过主观判断簇类中心，将ρi与δi相乘得到ri并降序排列（ri越大，越有可能是簇类中心），ri从簇类中心到非簇类中心会有明显跳跃。

4 DG多目标规划模型

以DG投资运行费用和配电网向上级电网购电费用最小为优化目标，建立DG多目标规划模型。

4.1 目标函数

目标1为DG投资运行费用最小，其数学表达式为

式中：Ct为折现到每年的DG年投资费用；Cm为DG的年维护费用；r为折现率；n为DG的使用年限；Zwt，i和Zpv，i分别 为在节点i处 安装风 电 机组和光伏发电机组的容量；Cwt和Cpv分别为单位容量风电机组和光伏发电机组的安装投资成本；Cmwt和Cmpv分别为风电机组和光伏发电机组的发出单位电量的运行维护费用；Ewt和Epv分别为风电机组和光伏发电机组的年发电量。

目标2为配电网向上级电网购电费用最小，其数学表达式为

式中：Ce为向上级电网的单位购电成本；Closs为年网损量；Cload为年负荷量。

根据文献［18］，从配电公司与实际情况出发，采用层次分析法计算各目标函数权重，w1=0.475，w2=0.525，从而将多目标优化模型转化为单一目标优化模型，其数学表达式为

4.2 约束条件

配电网分布式电源规划中的约束，主要包括功率平衡约束、节点电压约束、接入DG容量约束和支路电流约束等。

4.2.1 功率平衡约束

本文引入支路潮流法（distflow）描述潮流，通过二阶锥松弛对其进行松弛，使其从非凸性转化为凸性［19］。数学表达式为

式中：集合u（j）为以j为末端节点的支路首段节点集合；集合v（j）为以j为首端节点的支路末端节点集合；Pij，Qij分别为ij支路首端三相有功和无功功率；Ui为节点电压幅值平方；Lij为支路电流幅值平方；rij，xij为支路的电阻和电抗。

4.2.2 节点电压约束

节点电压约束为

式中，vi.min，vi.max分别为节点i电压幅值的最小值和最大值。

4.2.3 支路电流约束

支路电流约束为

式中，Iij.max为支路过载临界电流幅值。

4.2.4 DG有功出力与无功出力约束

DG有功出力与无功出力约束为

式中：Pwt和Qwt分别为风电机组的有功和无功出力；Ppv和Qpv分别为光伏发电机组的有功和无功出力。

4.2.5 接入DG容量约束

接入DG容量约束为

式中：PDGi，PDGi.max分别为节点i接入DG的容量和最大容量；PDG，Pmax分别为配电网安装DG总容量和DG最大接入总容量。

4.3 模型求解流程

输入原始数据经第2～3节算法处理得到典型场景。在MATLAB-YALMIP开发环境中建立数学模型，调用CPLEX求解器对规划模型求解。优化求解流程如图1所示。

图1 优化求解流程Fig.1 Optimization solution process

5 算例分析

本文采用IEEE 33节点算例（图2）对上述模型进行仿真验证，节点1为平衡节点，电压等级12.66 k V，基准功率10 MVA，具体参数见文献［20］。由某地历史气象数据与负荷数据统计得知，风速服从k=2.32和c=8.96的威布尔分布，vi=3 m/s，vr=13 m/s，vout=20 m/s；光照强度服从α=0.66和β=1.82的Beta分布，Imax=600 W/m2；负荷服从标准正态分布，均值为IEEE 33节点算例中负荷值，标准差为均值的10%。

图2 IEEE 33节点配电网Fig.2 Distribution grid of IEEE 33 nodes

设DG待规划节点为14，18，25，30，32，单台DG额定容量为100 kW。风电机组的投资成本1800美元/kW，运行维护费用0.05美元/（kW·h）；光伏发电机组的投资成本2000美元/kW，运行维护费用0.03美元/（kW·h）；向上级电网购电成本0.089美元/（kW·h）；DG的经济使用年限20 a，折现率0.06；拉丁超立方抽样规模为500。

通过CFSFDP算法对考虑相关性的源荷样本进行场景削减，得到3个簇类中心的决策图，如图3所示。

图3 决策图Fig.3 Decision map

上述结果也可通过选择综合考虑局部密度ρi和到高局部密度点距离δi的乘积ri，并将其降序排列来验证。如图4所示，ri经快速下降后趋于收敛（本次选取前50个数据点），从簇类中心到非簇类中心有明显跳跃，有3个簇类中心。

图4 r值降序图Fig.4 r values descending map

将考虑相关性的典型场景代入模型中求解，将求解结果与不考虑相关性的情况做对比，结果如表1所示。

为验证模型的有效性，按照表1所示设置3种不同的规划方案，其对比结果如表2所示。

表1 规划方案设置Tab.1 Planning scheme settings

表2 DG规划方案结果Tab.2 DG planning scheme results

对比方案1和2可知，相同情况下，基于CFSFDP算法的多场景规划结果明显好于基于K-均值聚类的多场景规划结果。这是因为CFSFDP算法通过引入局部密度ρi和到高局部密度点距离δi，从而根据样本密度能快速确定簇类中心和个数，不受初始聚类中心影响，适合于大型数据的聚类分析。

对比方案1与方案3可知，考虑风光荷三者之间的相关性与不考虑相关性相比，分布式电源规划的年综合费用下降4.86%。这是因为方案3没有考虑风速、光照和负荷之间的相关性，而它们之间的相关性会对规划结果产生影响。经大量数据统计可知，风速与负荷一般呈现负相关性，光照强度与负荷一般呈现正相关性，风速和光照强度呈现负相关性。

方案1，2和3的规划结果不同，主要在于得到的典型场景不同。考虑风光荷样本元素之间相关性后经基于CFSFDP聚类算法得到的典型场景，较其他情况下的典型场景更能客观反映配电网实际运行状态，有助于得到更经济的DG规划方案。

6 结 语

通过Spearman秩相关系数分析风速、光照强度和负荷之间的相关性，考虑相关性的规划方案更接近配电网实际运行状态。对间歇性DG进行规划时，必须考虑源荷之间的相关性，否则将影响规划方案的经济性。

采用CFSFDP聚类算法对考虑相关性的场景集进行有效削减，所得典型运行场景能更好体现场景集中数据元素。

本文对规划模型进行二阶锥松弛，使非凸的规划模型转化为混合整数二阶锥规划问题，简化了原问题从而提高了求解效率，保证解为全局最优。