段卓平，白志玲，白孟璟，黄风雷

(北京理工大学 爆炸科学与技术国家重点实验室，北京 100081)

0 引言

弹药在存储、运输或服役等全寿命过程中，不免会遭遇跌落、撞击、火烧或长期暴露在高温环境等意外热/机械刺激，引发弹药装药点火燃烧，直至爆炸甚至转为爆轰等典型非冲击点火事故反应，造成灾难性后果。针对典型弹药装药，其非冲击点火事故反应演化过程非常复杂，受约束结构强度、惯性约束能力、炸药固有本征燃烧特性和裂纹发展演化等多种因素影响，涉及炸药结构中动态损伤裂纹萌生、扩展及分叉和产物气体与裂纹的气体-固体耦合、流体-固体耦合作用等问题，属于典型的多物理、多因素和多过程关联的反应行为，弹药装药非冲击点火事故反应演化行为一直是炸药安全性研究领域的瓶颈，制约了当前安全弹药设计与评估的发展[1-2]。

目前，炸药装药非冲击点火反应演化行为研究处于起步阶段，偏重于实验研究。Berghout等[3-4]、尚海林等[5]和Shang等[6]分别实验研究了强约束高聚物粘结炸药(PBX)9501预置一维裂缝中燃烧传播演化过程，裂缝的长宽比越大，燃烧反应越剧烈，燃烧速率的突然改变被认为是形成对流燃烧的标志。Dickson等[7-8]、Smilowitz等[9-10]、Holmes等[11-12]、李涛等[13]和Li等[14]分别观测了受约束环形、圆柱形和球形PBX9501炸药装药点火反应演化过程，炸药中心区域自发/强制点火，高温产物气体进入炸药基体缝隙及炸药与壳体结构间隙，加热缝隙炸药引起缝壁表面燃烧，造成缝内压力迅速积累，驱动裂纹快速分叉扩展，形成燃烧裂纹网络，燃烧表面积剧增，即所谓的自增强燃烧(对流燃烧)，压力迅速增长直至壳体破裂解体。Hu等[15]在强约束典型奥克托今(HMX)基压装PBX的燃烧转爆轰管实验中也发现了上述燃烧裂纹网络反应演化过程。基于系列实验诊断结果，目前关于典型固体炸药点火反应演化的主导机制已初步形成共识[16-17]，即强约束炸药点火后反应增长演化受炸药本征(退化)燃烧、裂纹扩展、燃烧表面积迅速增加等动态过程主导和调控，其中压力增高促使炸药本征燃烧速率加快与裂纹扩展导致燃烧表面积增加的耦合作用，引起炸药装药体系的自增强燃烧，是炸药点火后反应增长的关键机制。

数值模拟动态裂纹萌生、扩展与贯通等过程是断裂研究领域长期以来的难点，解决高温产物气体燃烧驱动裂纹扩展的气体/流体-固体耦合问题更是数值建模和算法处理方面的重大挑战，炸药装药真实点火反应演化过程时间尺度远超出现有数值模拟的能力，目前燃烧裂纹反应演化行为的数值模拟研究仍处于定性研究阶段，相关成果鲜有报道。

在理论建模方面，现阶段仍没有系统、充分的理论模型可以有效地描述和预测炸药装药燃烧裂纹反应演化过程，关于受约束炸药非冲击点火反应演化理论模型的研究远不够成熟。Jackson等[18-19]和尚海林等[20]基于强约束炸药预置单裂缝燃烧演化过程的压力变化规律，分别建立了一维燃烧裂纹增压模型。Hill[21]考虑炸药装药内孔隙分布规律，建立了受约束炸药燃烧裂纹网络模型，初步实现了炸药装药反应演化过程的计算，但未给出与实验结果的对比，模型的有效性有待验证，且模型考虑因素单一，与实际工程要求差距较大。

本文发展建立燃烧裂纹网络反应演化模型，描述和预测受约束炸药装药点火后反应演化行为，量化表征系统的反应烈度，通过与实验结果对比，验证模型适应性，为弹药安全性设计和数值评估提供理论依据。

1 模型构建

建立受约束炸药燃烧裂纹网络反应演化模型，如图1所示，在装药的中心位置发生一定强度的点火，同时产生局部裂纹，燃烧在裂纹中扩展。考虑炸药声速与燃烧反应驱动裂纹扩展过程是同一量级，假设局部压力扰动瞬间分布整个炸药体系，同时被球壳、圆筒或其他规则形状的惰性壳体约束，达到动态平衡状态。值得指出的是，本文提及的裂纹和裂纹扩展泛指固体炸药装药的初始孔洞、裂纹以及在各种刺激载荷作用下产生的宏细观孔洞、裂纹等多种形态的损伤和损伤演化。

图1 强约束炸药燃烧裂纹网络反应演化模型

炸药装药体系总体积V包括炸药体积Ve和裂纹体积Vc，即

V=Ve+Vc.

(1)

裂纹处理为类裂缝空间，即

Vc=Sδ，

(2)

式中：S为装药体系的裂纹网络总表面积；δ为裂纹宽度。

初始时刻t=0 s，壳体内压力p0=0 MPa，炸药装药内部有裂纹缺陷但裂纹宽度δ0=0 mm，炸药装药体系的初始体积V0满足

V0=Ve0，

(3)

式中：Ve0为炸药初始体积。点火燃烧起始时刻，壳体内压力达到点火阈值压力pi，炸药基体局部破碎，出现随机分布的裂纹，此时裂纹宽度为δi.随后的燃烧反应演化过程中，压力升高，联立(1)式～(3)式，得

(4)

壳体内部空间体积相对变化即整个炸药体系系统的体应变为εv，εv=(V-V0)/V0，假设满足压力p=Iεv，I为壳体广义等效刚度；采用理想弹塑性本构模型描述壳体材料，并考虑薄壳、中厚以及厚壳等情况，针对不同形状壳体如圆环、圆筒和球壳等，壳体弹塑性变形过程中广义等效刚度I的表达式，详见附录。此外，炸药的体应变为εve=(Ve-Ve0)/Ve0，于是Ve/Ve0=1+εve，满足p=-Bεve，B为炸药体积模量。

附录 不同形状壳体的广义等效刚度表达式

定义系统的广义刚度M，满足

(5)

于是，有

(6)

点火后，高温气体迅速进入炸药破碎形成的缝隙，引燃炸药，缝内压力升高促使产物气体进入更细的裂缝，同时快速产生的产物气体无法从缝隙中流出而出现壅塞现象，缝内压力急剧升高，驱动裂纹快速分叉扩展，燃烧表面积剧增，形成燃烧裂纹网络；随着压力的增加，也进一步促使燃烧速率增高；燃烧表面积的演化扩展和燃烧速率的增加共同作用促使压力急剧增长。

从概率和统计学角度，Weibull分布模型通常用来描述材料中存在大量随机分布的缺陷，且材料失效是由最弱链引起，广泛应用于脆性材料微裂纹扩展断裂破坏表征。燃烧裂纹扩展与脆性材料微裂纹扩展演化特征相似，本文采用Weibull分布模型描述燃烧裂纹网络特征，建立点火后燃烧裂纹网络细观结构与宏观性能的关系。点火后裂纹网络在压力p作用下发生扩展的概率密度函数f(p)可定义为

f(p)=

(7)

式中：m为形状参数；pr为尺度参数，与装药细观特性有关。于是，在压力p作用下，炸药装药燃烧裂纹网络发生扩展演化的概率为

(8)

炸药装药体系含有足够多的裂纹，燃烧裂纹分叉扩展成网，裂纹数量或裂纹面积可做统计处理。于是，表征燃烧裂纹网络的关键参量即燃烧裂纹网络表面积S与压力p满足以下关系：

S(p)=Si+

(9)

式中：Si为燃烧面积，装药自点火时激活的Si由装药特性和初始温度决定，强制点火时Si还与点火强度有关，可通过典型实验标定；ρe0为炸药装药密度；Smax为燃烧裂纹饱和比表面积(cm2/g)，与装药特性有关。

相比燃烧演化后期的裂纹饱和态面积，局部点火激活的初始燃烧裂纹面积S非常小(相差几个量级)，参数pr和m是反映炸药装药特性对燃烧裂纹网络演化特征影响的关键物理量。为分析燃烧裂纹网络演化特征，取pi=1.0 MPa，计算不同(pr，m)值下，燃烧裂纹网络面积随压力的变化规律，如图2所示。由图2可见：pr越小或m越大，炸药装药燃烧裂纹网络扩展速率越快；裂纹网络面积增长速率随压力变化呈慢-快-慢的过程；燃烧反应前期梯度压力较低，裂纹扩展缓慢，炸药退化燃烧占主导；随着压力升高，炸药退化燃烧速率升高，高压产物气体驱动裂纹扩展速率加快；反应后期，由于壳体约束作用，压力继续增大但裂纹网络已达到饱和。

图2 燃烧裂纹网络面积随压力变化特征

燃烧起始时刻，微裂纹宽度δi为

(10)

炸药燃烧速率满足Vielle定律[1]：

(11)

于是，产物气体总质量mg增加速率为

(12)

假设产物为理想气体混合物，则

(13)

式中：ρg、R和T分别表示产物气体的密度、普适气体常数和温度。(13)式对时间t求导，并联立(6)式、(9)式、(11)式和(12)式，得

(14)

(15)

进一步整理得到，固体炸药装药非冲击点火反应演化过程中压力p关于时间t的表达式：

(16)

式中：ξ为压力变量。

典型装药结构强度通常有限，且往往存在连接薄弱环节，数百兆帕、数百微米甚至毫秒特征时间的内部压力，足以造成壳体在连接薄弱环节处破裂，亦或在结构和惯性约束下经历快速增长至吉帕水平的后期压力，驱动壳体破碎解体。为简化计算，忽略惯性效应，假设壳体破碎解体过程瞬间完成(解体前内部压力达到pb)，壳体破碎时刻为tb，此时炸药装药的反应度λ(已反应炸药的质量比)为

(17)

式中：ti为点火时刻。

进一步，采用能量释放总量和能量释放率的乘积表示系统的反应烈度Fv[22]：

(18)

通常，弹体受内压作用发生破坏的位置和方式由弹体结构决定。限于篇幅，本文计算仅考虑理想对称均匀变形破坏模式，局部破坏模式将在后续工作中考虑。

壳体变形直至破坏解体的过程比较复杂，合理地描述其响应行为尤其是确定壳体破坏时刻，是准确估算炸药装药总反应量的关键。本文采用理想弹塑性本构模型和最大应变失效判据(暂取失效应变5%)描述壳体变形直至破坏过程。针对薄壳、中厚/厚壳情况，分别建立薄壁模型和中厚/厚壁模型分析壳体变形直至破坏失效过程，获得广义等效刚度I表达式和壳体变形至失效的响应时间。其中，薄壁模型获得的广义等效刚度I表达式较简洁，便于工程应用，在实际工程误差允许范围内，可提高计算效率。

2 模型验证

分别采用薄壁模型和中厚/厚壁模型，计算全钢结构强约束球形PBX9501炸药强制点火后反应增长演化过程，计算用PBX9501炸药热力学参数和壳体参数，如表1所示。球形钢壳内半径Ri=5.5 cm，改变壁厚，对比薄壁模型和中厚/厚壁模型计算结果，如图3所示。由图3可见，随着壳体厚度减小，二者计算的炸药装药点火反应演化过程中压力变化和反应度变化差异均减小，当壳体非常薄时，中厚/厚壁模型可较好地退化为薄壁模型。

表1 计算用PBX9501炸药的热力学参数及壳体参数[13]

图3 不同壁厚情况下薄壁模型与中厚壁模型计算结果对比(Ri=5.5 cm)

分别采用Hill模型[21]和本文建立的中厚壁理论模型，计算与文献[13]相同实验状态下的全钢结构强约束球形PBX9501炸药强制点火后反应增长演化过程，计算用PBX9501炸药装药半径Ri=5.5 cm，炸药热力学参数见表1，球形钢壳厚度Δ=2 cm.此外，考虑到文献[13]实验中基座和套筒等装置进一步加强了壳体约束，计算用球形壳体的等效屈服强度取为2 000 MPa.对比文献[13]中的实验测试结果，如图4(a)所示，本模型的计算结果与实验数据符合得更好，初步验证了该模型的合理性。进一步分析原因，Hill模型[21]仅简单地将高压下火焰渗入单裂纹的Belyaev判据[18，22]用于装药初始损伤裂纹的表面积分布，以表征不同压力下的燃烧裂纹网络表面积，并未考虑损伤裂纹的进一步扩展贡献，导致模型计算的装药反应演化后期燃烧网络表面积偏小，反应速率偏低，压力成长偏慢。本文建立的理论模型计算结果与实验曲线均显示炸药点火后压力增长历史呈现典型的三阶段过程，即诱导阶段、指数增长阶段和高速线性增长阶段：诱导阶段，火焰气体沿炸药基体裂纹长程流动加热引燃炸药，进行的退化本征燃烧速率低，裂纹扩展缓慢，表现出较低压力下平稳增长特性；指数增长阶段，在较高压力的驱动下，炸药本征退化燃烧速率加快与燃烧裂纹网络面积急剧增加的耦合作用，导致指数增长特性的自增强燃烧；高速线性增长阶段，燃烧裂纹网络面积饱和不再增加，高压维持了高的退化燃烧速率，形成了压力高速线性增长特性。

图4 强约束球形炸药非冲击点火反应增长过程的计算结果与实验测试结果对比(Ri=5.5 cm,Δ=2 cm)

采用本模型计算实验状态下装药点火到壳体破碎过程中炸药反应度曲线如图4(b)所示，获得壳体破碎时炸药反应度λ为20.9%，反应烈度Fv为0.048 6，对比文献[13]中依据空气冲击波超压信号估算的炸药反应度约18%，初步验证了模型的合理性。此外，需要说明的是，壳体破坏时壳内压力的计算值比实验值偏低的原因是，目前模型采用的理想弹塑性本构模型和最大应变失效判据，未考虑壳体材料硬化和壳体约束惯性效应等因素，后续工作将进一步完善壳体变形过程。

值得指出的是，本文模型可反映壳体材料强度如弹性模量、屈服强度和破坏强度等因素的影响，但本文内容聚焦壳体结构设计，限于文章篇幅，不讨论壳体材料，默认弹体常用高强度钢。

3 分析与讨论

关注壳体尺寸(装药结构尺寸)和壳体厚度对装药点火后反应增长过程的影响，计算采用全钢结构球形约束。如图5所示：在几何相似条件(取半径比K=Ro/Ri=1.363 6)下，装药直径越大，炸药点火后经历的早期高温产物气体流动和后续炸药表面燃烧导致裂纹增压扩展过程的时间越长，炸药燃烧反应初期越缓慢，压力成长越缓慢，壳体变形响应时间越长，但壳体破坏时壳内压力和炸药装药最终反应度均一致，装药释放的总能量比也一致，但尺寸较大的装药最终反应烈度较大。值得说明的是，本文计算的反应烈度属强制点火情况下的反应演化结果，未考虑快速或慢速烤实验对应装药内部损伤累积等复杂响应对最终反应烈度的影响。

图5 壳体尺寸(装药尺寸)对炸药装药点火后反应增长过程的影响(K=1.363 6)

如图6所示：在本文计算的装药尺寸及壳体厚度范围内，壳体越厚，约束越强，壳体变形越小，炸药点火后压力成长越快，炸药反应越剧烈，壳体破坏时刻炸药装药反应量越多。进一步扩展壳体半径比K，计算不同K值对应壳体破坏时刻壳内压力、装药反应度和反应烈度，如图6(c)所示，K越大，壳体结构约束越强，压力成长越快，炸药反应速率越高，壳体破坏时压力、炸药反应度和反应烈度均较大。

图6 壳体厚度(等效几何约束强度)对炸药装药点火后反应增长过程的影响

进一步关注点火阈值压力pi对装药点火后反应增长过程的影响，计算仍采用全钢结构球形约束，球壳内半径Ri=5.5 cm，壁厚Δ=2 cm.如图7所示：在保证可靠点火的前提下，点火强度pi越低，激发的裂纹表面积Si越小，导致低压阶段前期高温产物气体加热壁面炸药引发燃烧并驱动裂纹扩展的响应过程变长，压力成长变缓慢，但该过程持续时间较短，后续的燃烧表面积呈网络型剧增，所谓的自增强燃烧作用贡献将很快淹没装药燃烧起始状态间的差异。燃烧反应演化后期，压力成长速率和装药反应速率差异均变小，壳体破坏时内部压力、装药反应度和反应烈度基本一致。可见，点火强度对装药最终反应度和反应烈度的影响不大。

图7 点火压力对炸药装药点火后反应增长过程的影响

4 结论

本文建立了燃烧裂纹网络反应演化理论模型，反映炸药本征燃烧速率、约束强度、装药结构尺寸等对装药非冲击点火燃烧反应演化行为的影响规律，为弹药安全性设计和烈度评估提供理论基础。得出主要结论如下：

1)炸药点火后反应演化过程呈现典型的三阶段特征，即诱导阶段、指数增长阶段和高速线性增长阶段。

2)几何相似条件下，装药结构尺寸越大，炸药点火后经历的早期高温产物气体流动和后续炸药表面燃烧导致裂纹增压扩展过程的时间越长，炸药反应初期越缓慢，但反应后期越剧烈，壳体破坏时炸药装药最终反应度一致，尺寸越大的装药、反应烈度越大。

3)壳体约束越强，高温产物气体自增强燃烧越迅速，裂纹网络饱和态的燃烧持续时间越长，装药反应越剧烈，壳体破坏时装药反应度越大。

4)在保证可靠点火的前提下，点火强度越低，激发的初始燃烧裂纹表面积越小，但燃烧裂纹网络表面积剧增效应的自增强燃烧作用贡献很快淹没燃烧起始状态间的差异，点火强度对装药最终反应度和反应烈度的影响不大。

后续工作将进一步贴合实际工程考虑弹体泄压结构、泄压通道、惯性约束效应等因素的影响，进一步发展反应烈度量化表征方法，建立适应性更强的反应演化模型，为弹药安全性设计和反应烈度数值评估提供理论依据。

参考文献(References)

[1] ASAY B W.Shock wave science and technology reference library，Vol.5:non-shock initiation of explosives[M].Heidelberg，Baden-Württemberg，Germany:Springer，2010: 245-401.

[2] 胡海波，傅华，李涛，等.压装密实炸药装药非冲击点火反应传播与烈度演化实验研究进展[J].爆炸与冲击，2020，40(1):011401.

HU H B，FU H，LI T，et al.Progress in experimental studies on the evolution behaviors of non-shock initiation reaction in low porosity pressed explosive with confinement[J].Explosion and Shock Waves，2020，40(1):011401.(in Chinese)

[3] BERGHOUT H L，SON S F，HILL L G，et al.Flame spread through cracks of PBX 9501(a composite octahydro-1，3，5，7-tetranitro-1，3，5，7-tetrazocine-based explosive)[J].Journal of Applied Physics，2006，99(11):114901.

[4] BERGHOUT H L，SON S F，ASAY B W.Convective burning in gaps of PBX 9501[J].Proceedings of the Combustion Institute，2000，28(1):911-917.

[5] 尚海林，杨洁，胡秋实，等.炸药裂缝中的对流燃烧现象实验研究[J].兵工学报，2019，40(1):99-106.

SHANG H L，YANG J，HU Q S，et al.Experimental research on convective burning in explosive cracks[J].Acta Armamentarii，2019，40(1):99-106.(in Chinese)

[6] SHANG H L，YANG J，LI T，et al.Convective burning in confined explosive cracks of HMX-based PBX under non-shock initiation[C]∥Proceeding of the 16th International Detonation Symposium.Cambridge，MD，US:Office of Naval Research，2018.

[7] DICKSON P M，ASAY B W，HENSON B F，et al.Thermal cook-off response of confined PBX 9501[J].Proceedings of the Royal Society A，2004，460(2052):3447-3455.

[8] DICKSON P M，ASAY B W，HENSON B F，et al.Observation of the behaviour of confined PBX 9501 following a simulated cookoff ignition[C]∥Proceedings of the 11th International Detonation Symposium.Snowmass，CO，US:Office of Naval Research，1998.

[9] SMILOWITZ L，HENSON B F，ROMERO J J，et al.Direct observation of the phenomenology of a solid thermal explosion using time-resolved proton radiography[J].Physical Review Letters，2008，100(22):248-251.

[10] SMILOWITZ L，ENSON B F，ROMERO J J，et al.The evolution of solid density within a thermal explosion II.Dynamic proton radiography of cracking and solid consumption by burning[J].Journal of Applied Physics，2012，111(10):103516.

[11] HOLMES M D，PARKER G R，HEATWOLE E M，et al.Center-ignited spherical-mass explosion(CISME):LA-UR-18-29651[R].Los Alamos，NM，US:Los Alamos National Laboratory，2018.

[12] HOLMES M D，PARKER G R，BROILO R M，et al.Fracture effects on explosive response(FEER):LA-UR-18-29694[R].Los Alamos，NM，US:Los Alamos National Laboratory，2018.

[13] 李涛，胡海波，尚海林，等.强约束球形装药反应裂纹传播和反应烈度表征实验[J].爆炸与冲击，2020，40(1): 01402.

LI T，HU H B，SHANG H L，et al.Propagation of reactive cracks and characterization of reaction violence in spherical charge under strong confinement[J].Explosion and Shock Waves，2020，40(1): 011402.(in Chinese)

[14] LI T，GUO Y W，FU H，et al.Reaction cracks and pressurization of a pressed HMX-based PBX under high confinement[C]∥Proceedings of the 49th International Annual Conference of ICT.Karlsruhe，Germany:ICT，2018.

[15] HU H B，GUO Y W，LI T，et al.Reactive behavior of explosive billets in deflagration tube of varied confinements[C]∥Proceedings of APS Topical Group on Shock Compression of Condensed Matter.St.Louis，MO，US:The American Physical Society，2017.

[16] 胡海波，郭应文，傅华，等.炸药事故反应烈度转化的主控机制[J].含能材料，2016，24(7):622-624.

HU H B，GUO Y W，FU H，et al.The dominant mechanisms of reaction violence transition in explosive accidents[J].Chinese Journal of Energetic Materials，2016，24(7): 622-624.(in Chinese)

[17] ANDREEVSKIHA L A，VAKHMISTROV S A，PRONIN D A，et al.Convective combustion in the slot of an explosive charge[J].Combustion，Explosion，and Shock Waves，2015，51(6):659-663.

[18] JACKSON S I，HILL L G.Runaway reaction due to gas-dynamic choking in solid explosive containing a single crack[J].Proceed-ings of the Combustion Institute，2009，32(2): 2307-2313.

[19] JACKSON S，HILL L G.Predicting runaway reaction in a solid explosive containing a single crack[C]∥Procceedings of APS Topical Conference on Shock Compression of Condensed Matter.Kohala Coast，HI，US:The American Physical Society，2007.

[20] 尚海林，胡秋实，李涛，等.炸药裂缝燃烧增压过程的一维理论[J].爆炸与冲击，2020，40(1):011403.

SHANG H L，HU Q S，LI T，et al.One-dimensional theory for pressurization process in explosive crack burning[J].Explosion and Shock Waves，2020，40(1): 011403.(in Chinese)

[21] HILL L G.Burning crack networks and combustion bootstrapping in cookoff explosions[C]∥Proceedings of Conference of Shock Compression of Condensed Matter.Baltimore，MD，US:the American Physical Society, 2005:531-534.

[22] PERRY W L，DICKSON P M，PARKER G R, et al.Quantification of reaction violence and combustion enthalpy of plastic bonded explosive 9501 under strong confinement[J].Journal of Applied Physics，2005，97(2):9-19.

[23] 张文英，邓晓雅，陈思瑾，等.PBX9501热感度、热膨胀及力学性能的分子动力学模拟[J].火炸药学报，2016，39(3): 32-36.

ZHANG W Y，DENG X Y，CHEN S J，et al.Molecular dynamics simulation of thermal sensitivity thermal expansion and mechanical properties of PBX9501[J].Chinese Journal of Explosives & Propellants, 2016，39(3):32-36.(in Chinese)

[24] GREBENKIN K F.Comparative analysis of physical mechanisms of detonation initiation in HMX and in a low-sensitive explosive(TATB)[J].Combustion，Explosion，and Shock Waves，2009，45(1):78-87.

[26] BOBRATZ B M，CRAWFORD P C.LLNL explosives handbook:properties of chemical explosives and explosives and explosive simulants: UCRL-52997[R].Livermore，CA，US:Lawrence Livermore National Laboratory，1981.