吴钇娴，唐孝敏

(黑龙江大学数学科学学院，黑龙江 哈尔滨 150080)

1 预备知识

Rota-Baxter代数最早出现在20世纪60年代，源于Baxter在概率论中对波动理论的积分方程的代数研究[1].其在代数学中的重要作用，引起了Rota，Atkinson和Cartier等数学家的兴趣，并对其做了深入研究[2-5].近年来，出现了许多有关Rota-Baxter代数的研究结果.[6-12]Baxter[1]在研究涨落理论中的Spitzer等式时引入了一类满足特殊关系式的k-线性算子，称为(权为λ的)Rota-Baxter算子.确切地说，设k是一个含1的交换环，则有如下定义：

定义1.1 设R是一个交换的k-代数，λ是R中的数.若k-线性映射P：R→R满足如下的Rota-Baxter等式：

P(r)P(s)=P(P(r)s)+P(rP(s))+λP(rs)，∀r，s∈R，

(1)

则称P是R上的一个权为λ的Rota-Baxter算子.若一个k-代数R带有一个权为λ的Rota-Baxter算子，则称(R，P)是一个权为λ的Rota-Baxter代数.

定义1.2 令(R，P)是权为λ的Rota-Baxterk-代数，设M是一个左R-模，p：M→M是M上的一个k-线性算子，且满足：

P(r)p(m)=p(P(r)m)+p(rp(m))+λp(rm)，∀r∈R，m∈M，

则称(M，p)是一个权为λ的Rota-Baxter左(R，P)-模.

Rota-Baxter代数的模是结合代数的模的推广，近年来才引起学者的关注[9-11].本文将研究权为非零的多项式Rota-Baxter代数模的结构.

注1 若P是k-代数R上的一个权为λ的Rota-Baxter算子，且λ≠0，则易验证λ-1P是一个权为1的Rota-Baxter算子.因此，不失一般性，当研究权为非零λ的Rota-Baxter算子(代数或模)时总假设λ=1.

假设k是特征为零的域.设k[x]是系数取自k且以x为变元的多项式代数.将给出一个权为1的Rota-Baxter代数(xk[x]，P)，其中P是由k[x]上一类权为1的Rota-Baxter算子限制得到的[12].

定义1.3 在xk[x]上定义线性算子P，其作用确定为

P：xk[x]→xk[x]，P(xm)=-xm，m∈N+，

其中N+为所有正整数构成的集合.则易知(xk[x]，P)是一个权为1的Rota-Baxter代数.本文以下所说的多项式Rota-Baxter代数均指此权为1的Rota-Baxter代数(xk[x]，P).

定义1.4 设k〈x，y〉是以x和y为变元的非交换多项式代数，I(x，y)是由多项式xy+yxy生成的k〈x，y〉的主理想.定义商代数如下：

2 多项式Rota-Baxter代数与代数 模

设(xk[x]，P)是本文给出的多项式Rota-Baxter代数，即对任意的m∈N+，都有P(xm)=-xm.注意到k〈x，y〉是以x和y为变元的非交换多项式代数，令IP是由集合

对于任意m∈N+，有P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm=-yxmy-xmy.由于P是k线性的，因此集合

yxm+1y+xm+1y=yxm+1y+yxmyxy-yxmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-yxmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-yxmyxy-xmyxy+xmyxy+xm+1y=yxm(xy+yxy)-(yxmy+xmy)xy+xm(yxy+xy).

由归纳假设可知yxm+1y+xm+1y∈I(x，y)，推出X1⊂I(x，y)，于是有IP⊆I(x，y).因此IP=I(x，y).

P(f)p(v)=p(P(f)v)+p(fp(v))+p(fv)，∀f∈xk[x]，v∈M.

p(v)=yv，∀v∈M，

(2)

则(M，p)是一个(xk[x]，P)-模.反之，若(M，p)是一个(xk[x]，P)-模，定义

yv=p(v)，∀v∈M，

(3)

(P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm)v=P(xm)yv-yP(xm)v-yxmyv-yxmv=0.

将(2)式代入上式可得

P(xm)p(v)=p(P(xm)v)+p(xmp(v))+p(xmv).

因此(M，p)是一个(xk[x]，P)-模.

反之，假设M是一个k〈x，y〉-模，(M，p)是一个(xk[x]，P)-模.于是，对于任意v∈M，有

(P(xm)y-yP(xm)-yxmy-yxm)v=P(xm)yv-yP(xm)v-yxmyv-yxmv.

利用等式(3)，上式等于P(xm)p(v)-p(P(xm)v)-p(xmp(v))-p(xmv)，即

IP⊆annM={F∈k〈x，y〉∣Fv=0，∀v∈M}.

推论2.1 设M是一个xk[x]-模，p∈Endk(M)，则(M，p)是一个(xk[x]，P)-模，当且仅当

xp=-pxp.

xym=xyym-1=-yxyym-1=-yxym.

由此易知结论成立.

3 多项式Rota-Baxter代数的模的刻画

x(e1，e2，…，en)=(xe1，xe2，…，xen)=(e1，e2，…，en)A，

y(e1，e2，…，en)=(ye1，ye2，…，yen)=(e1，e2，…，en)B.

命题3.1 设M是一个xk[x]-模，p∈Endk(M)并设x和p在M的某组基下的矩阵分别为A和B.则(M，p)是Rota-Baxter代数(xk[x]，P)的一个模，当且仅当关于A和B的如下矩阵方程成立：

(In+B)AB=0.

(4)

由命题3.1，刻画多项式Rota-Baxter代数(xk[x]，P)的模只需解矩阵方程(4).下面给出几个多项式Rota-Baxter代数的模：

(ⅰ)M∶=M0，θ∶xei=0，p(ei)任意，∀i=1，…，n；

(ⅱ)M∶=Mθ，0∶xei任意，p(ei)=0，∀i=1，…，n；

(ⅲ)M∶=Mθ，-I∶xei任意，p(ei)=-ei，∀i=1，…，n.

证明设x和p在M的基{e1，…，en}下的矩阵分别为A和B.由命题3.1，(M，p)是多项式Rota-Baxter代数(xk[x]，P)的一个模，当且仅当(4)式成立，即(In+B)AB=0.注意到M∶=M0，θ恰是A=0的情形，M∶=Mθ，0恰是B=0的情形，而M∶=Mθ，-I恰是B=-In的情形.定理得证.

命题3.3 取定s=(a1，a2，a3，a4，λ2)∈k5.记M为k上的2维线性空间，具有基底{e1，e2}.则M上的线性映射p和x在M上的以下5 种作用分别使得(M，p)是Rota-Baxter代数(xk[x]，P)的5种模：

(ⅰ)x(k1e1+k2e2)=k1(a1e1+a3e2)，p(k1e1+k2e2)=λ2k2e2，∀k1，k2∈k，其中λ2≠-1，0；

(ⅱ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1+k2a4e2，p(k1e1+k2e2)=-k1e1，∀k1，k2∈k；

(ⅲ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1，p(k1e1+k2e2)=-k1e1+λ2k2e2，∀k1，k2∈k，其λ2≠-1，0；

(ⅳ)x(k1e1+k2e2)=k2a2e1+k2a4e2，p(k1e1+k2e2)=k2e1，∀k1，k2∈k；

(ⅴ)x(k1e1+k2e2)=(k1a1+k2a2)e1，p(k1e1+k2e2)=(-k1+k2)e1-k2e2，∀k1，k2∈k.

证明设x和p在M的基{e1，e2}下的矩阵分别为A和B.易见上述5种情形A，B分别如下：

直接验证可知每种情形都有(I2+B)AB=0.由命题3.1可知结论成立.

下面给出Rota-Baxter代数(xk[x]，P)的1维和2维模的刻画.

定理3.1 设(M，p)是一个1维Rota-Baxter代数(xk[x]，P)的模，则M必为命题3.2给出的3种模之一，即：M0，θ，Mθ，0，Mθ，-I.

证明设x和p在M的基{e1}下的矩阵分别为a和b.由命题3.1，(M，p)是Rota-Baxter代数(xk[x]，P)的一个模，当且仅当

(b+1)ab=0.

注意到a，b∈k， 于是由上式可得a=0，或b=0，或b=-1.这导致3种情形：(ⅰ)a=0，b任意；(ⅱ)a任意，b=0；(ⅲ)a任意，b=-1.它们分别对应M0，θ，Mθ，0，Mθ，-I.证毕.

定理3.2 设(M，p)是一个2维Rota-Baxter代数(xk[x]，P)的模，则M必为命题3.2和命题3.3给出的8种模之一.

(5)

此时分λ1，λ2∉{0，-1}，λ1∈{0，-1}和λ2∈{0，-1}的情形讨论.注意到λ2∈{0，-1}可以通过调换基底元素的顺序归结为λ1∈{0，-1}的情形.因此，共分为以下6种情形：

(ⅰ1) 若λ1，λ2∉{0，-1}，则由(5)式可得A=0；

(ⅰ3) 若λ1=0，λ2=0，即B=0，则由(5)式可知A任意；

(ⅰ4) 若λ1=-1，λ2=-1，即B=-I2，则由(5)式可知A任意；

对照可知，(ⅰ1)是命题3.2给出的模M0，θ的一种；(ⅰ2)，(ⅰ5)，(ⅰ7)分别是命题3.3中(ⅰ)，(ⅱ)，(ⅲ)给出的模；(ⅰ3)，(ⅰ4)分别是命题3.2给出的模Mθ，0，Mθ，-I.

(6)

此时分λ∉{0，-1}和λ∈{0，-1}的情形讨论.

(ⅱ1) 若λ∉{0，-1}，则由(6)式可得a3=a4=a2=a1=0，即A=0；

对照可知，(ⅱ1)是命题3.2给出的模M0，θ的一种，(ⅱ2)，(ⅱ3)分别是命题3.3中(ⅳ)，(ⅴ)给出的模.即结论得证.