李木子，许荣今，岳立娟

(东北师范大学物理学院，吉林 长春 130024)

自从洛伦兹发现混沌现象以来[1]，非线性理论已成为现代物理学和数学的重要分支，并在多个领域有着广泛的应用[2].目前，吸引子主要分成两类：自激吸引子和隐藏吸引子[3].在无平衡点、具有一个或多个稳定平衡点、线性平衡点或曲线平衡点的系统中均具有隐藏吸引子[4].2013年，文献[5]首次提出了对隐藏吸引子的严格数学定义，之后在一些动力学系统中发现隐藏吸引子和共存吸引子之间存在明显的相关性[6-8]，因此，这样的系统具有多稳定性[9-11]，这种特性可以有效地提高系统的灵活性和复杂性，使得系统吸引子在相同参数不同初值下切换，隐藏吸引子既不具有同宿轨道也不具有异宿轨道，不能使用Shilnikov方法来验证混沌[12-13].此外，在混沌系统中对仅出现一次的变量中引入常数使系统产生偏置，偏置可以在不影响其动态行为的情况下改变吸引子在相空间中的位置，使吸引子沿某一方向移动，在移动过程中，产生不同类型吸引子[14]，但目前对两个及以上方向同时平移的研究很少.迄今为止，人们已经在很多动力学系统中观察到无平衡点的共存隐吸引子以及偏置产生的共存吸引子.文献[15]基于Lorenz系统提出了一个没有平衡点的超混沌系统，改变初值产生超混沌、混沌、准周期及周期的共存吸引子；文献[16]在2015年提出了一种无平衡点的具有指数非线性项的混沌系统，不同于一般具有隐藏吸引子的系统，并通过自适应同步实现对系统的控制；文献[17]在2019年提出了一种无平衡点四维超混沌系统，通过分岔图、复杂度等讨论了系统多稳定性的特性；2019年文献[18]发现系统偏置产生共存吸引子，即通过改变引入的常数，系统吸引子在初始值不变的情况下就会突然改变，这与改变初始值产生的共存吸引子完全不同；文献[19]在2019年提出一个具有隐藏吸引子的混沌系统，同时具有多个吸引子共存、偏置和逆周期分岔的特点.共存吸引子会导致机械系统发生意外的灾难性行为，并出现在锁相环、钻探系统或电子电路中，除此之外，不同类型的共存吸引子可以适当应用于安全通信等工程中，因此对共存吸引子的研究具有重要意义.

本文提出了一个新五维无平衡点超混沌系统，首先通过Lyapunov指数谱、分岔图、Poincaré截面、参数盘等对系统进行动力学分析；其次通过相轨迹图、Lyapunov指数谱、分岔图、参数盘对初值产生共存吸引子和偏置产生共存吸引子进行分析，其中通过引入常数的偏置方法可以使吸引子同时在两个方向上平移，在平移的过程中产生共存吸引子，最后通过电路仿真验证了系统的可实现性.

1 系统描述

1.1 新超混沌系统模型

本文提出的系统模型如下：

(1)

其中x，y，z，u，v为状态变量，b和c为系统参数.系统(1)的平衡点方程为：

y-cv=0，-bx-y-1.3yz-1.32u=0，2y2-xu-28.45=0，x+y=0，35x=0.

(2)

由35x=0，x+y=0得到x=0，y=0，代入2y2-xu-28.45=0，无法满足等式条件，方程(2)无解，因此系统(1)没有平衡点.

1.2 系统非线性描述

通过数值仿真，对系统(1)进行分析.图1是系统(1)在参数取b=c=1，初值取(0.1，0.1，-5，2.5，2)时的部分三维和二维相轨迹图，不同于已知的卷状或翼状吸引子，属于新的吸引子.根据隐藏吸引子的定义，该系统(1)无平衡点，且存在吸引子，所以具有隐藏吸引子.其Lyapunov指数为L1=0.280 1，L2=0.029 7，L3=0.000 1，L4=-0.121 4，L5=-0.770 9.

Kaplan-Yorke维数为

(3)

计算可得分数维，且5个Lyapunov指数中L3可看作0，L1和L2是正值，L4和L5是负值，且Lyapunov指数和为负值.因此系统(1)是一个具有隐藏吸引子的超混沌系统.

(a)y-z-u空间

(b)y-v平面

随参数b和c变化的最大Lyapunov指数，如图2所示，表明系统(1)在很大范围内存在混沌区.为了进一步观察倍周期和超混沌状态，固定参数b=1，初值选取(0.1，0.1，-5，2.5，2).系统(1)随c变化的Lyapunov指数谱和分岔图如图3所示，表明系统(1)从倍周期过渡到混沌态和超混沌态.当c取不同值时，对应Lyapunov指数和吸引子类型如表1所示，所对应吸引子相图如图4所示，表明系统(1)存在周期、准周期、混沌和超混沌的动力学行为.

图2 系统(1)在b∈[0.1，2]，c∈[0.1，2.5]的最大Lyapunov指数

(a)Lyapunov指数谱

(b)分岔图

(a)c=0.25时x-y相轨迹图

(b)c=0.15时x-y相轨迹图

(c)c=0.17时x-y相轨迹图

(d)c=0.30时x-y相轨迹图

(e)c=0.50时x-y相轨迹图

表1 c取不同值时的Lyapunov指数和吸引子类型

系统(1)的体积收缩率为

(4)

图5 系统(1)的Poincaré截面

z>-0.77满足耗散条件，包含该动力学系统(1)轨迹的每个体积都以t→∞的指数速率收缩至零，因此，所有轨迹最终到达吸引子.

图5是系统(1)在u=0的Poincaré截面，由图5可以看出，由于没有平衡点的限制，Poincaré截面不同于具有一个或多个平衡点的混沌系统，没有规则的分支，并且有成片的密集点，这表明系统(1)具有极其丰富的动力学行为.

系统(1)在(x，y，z，u，v)→(-x，-y，z，-u，-v)的坐标变换下，吸引子绕z轴旋转180°.图6为参数选取b=1，c=2时的吸引子相轨迹图，蓝色轨迹表示初始条件为(15，15，-5，-2.5，-2)的吸引子相图，红色轨迹表示初始条件为(-15，-15，-5，2.5，2)的吸引子相图，表明了系统(1)具有对称不变性.

(a)x-z平面

(b)y-z平面

2 共存特性

2.1 初值变化产生共存吸引子

系统(1)参数取b=c=1，初值为(m，0，0，0，0)，其中m∈[14，15]，对应Lyapunov指数谱和分岔图如图7所示，在m∈[14，14.25]∪[14.52，15]系统处于周期态，m∈[14.25，14.52]系统处于超混沌状态.其相轨迹图见图8.图8中蓝色轨迹为m=14.2时吸引子轨迹，红色轨迹为m=14.3时吸引子轨迹，系统(1)表现出周期与超混沌吸引子共存.

(a)Lyapunov指数谱

(b)分岔图

(a)x-y-z平面

(b)y-z平面

系统参数取b=0.05，c=1，初值为(m，0，0，0，0)，其中m∈[13，15]，对应Lyapunov指数谱和分岔图如图9所示.在m∈[13.68，13.87]∪[14.82，14.86]系统处于周期态，m∈[13.09，13.68]∪[13.87，14.82]系统处于混沌状态，其相轨迹图见图10.图10中蓝色轨迹为m=13.8时吸引子轨迹，红色轨迹为m=15时吸引子轨迹，系统(1)表现出周期与混沌吸引子共存.

基于以上分析研究表明，系统(1)可以产生周期与超混沌、周期与混沌吸引子共存，表现出复杂的动力学行为.

(a)Lyapunov指数谱

(b)分岔图

(a)x-y-z平面

(b)x-y平面

2.2 偏置产生共存

偏置首次是由Li提出，它是指一种在不改变系统解的情况下可以在动力学系统的解空间中移动任何吸引子的方法.将常数引入该方程式中仅出现一次的变量，则产生该变量的偏移量[20]，对应吸引子将发生偏移.标量为负，吸引子将沿正方向移动，反之向负方向移动[21].

系统(1)中，变量z和v只出现一次，通过引入常数k和p，将产生变量z和v的偏移.将z替换为z+k，v替换为v+p，参数取b=c=1，系统(1)改写为：

(5)

随k和p变化的最大Lyapunov指数和第2个Lyapunov指数如图11所示，图11(a)表示随着k和p变化，系统最大Lyapunov指数在部分区域接近0，说明该区域吸引子处于周期状态，图11(b)中第二大Lyapunov指数大于0的部分在与图11(a)对应Lyapunov指数大于0的部分相对应，说明该区域吸引子处于超混沌状态，并且在很大范围内均处于超混沌状态.图12(a)表示k和p取不同值时对应相轨迹图，可以看出，随着k和p的变化，吸引子在z和v方向上发生移动并且吸引子类型发生改变，图12(b)中z的时域图也表示在平移过程中，吸引子沿着吸引域交叉的边界会成为另一种吸引子，因此偏置使系统产生周期与超混沌吸引子共存.相比于单一方向平移的系统，该系统能够表现出更加复杂的动力学行为.

(a)最大Lyapunov指数谱

(b)第二大Lyapunov指数谱

(a)Lyapunov指数谱

(b)分岔图

3 系统(1)的电路实现

图13 系统(1)的电路图

其中：乘法器选择AD534，运算放大器选择TL082CD，电源电压为±16 V，对应的电路状态方程为：

(10)

其中：R3=R8=R9=R10=R11=R12=R14=R15=R16=R17=R20=R21=10 kΩ；R5=3.125 kΩ；R4=4.808 kΩ；R1=5 kΩ；R2=20 kΩ；R6=25 kΩ；R7=562.39 Ω；R13=5 kΩ；R18=1.429 kΩ；R19=15.15 kΩ；V1=1 V；C1=C2=C3=C4=C5=74 nF.

电路仿真结果如图14所示，与数值仿真得到的相轨迹图1相一致，证明了系统的可实现性.

(a)y-z相图

(b)y-v相图

4 结论

本文提出的具有隐藏特性的新超混沌系统，系统随参数改变存在周期、准周期向混沌、超混沌的过渡.通过Lyapunov指数谱、分岔图的分析，表明系统具有丰富的动力学行为.参数不变，初值改变可以产生周期、混沌、超混沌吸引子共存，更为重要的是，该系统通过引入常数，吸引子可以同时在两个方向上平移，参数盘显示出在平移过程中存在周期与超混沌吸引子共存，相较于单一方向上的平移，系统表现出更加复杂的动力学特性.