杨 悦，杜奕秋

(吉林师范大学 研究生院,吉林 长春 130000)

1976年,Herstein I N[1]提出了如果R是2-扭自由素环,d为环上的导子,对于R中任意的x,y,若满足[d(x),d(y)]=0,则R为交换环.1991年,Brear[2]提出了更具一般性的导子的概念.丰富了环上导子的相关研究成果.受Brear的启发,(θ,φ)-导子、(θ,θ)-导子等衍生导子相继出现.

在本文中R是结合环,在环R中,所有与R的全体元素可交换的元素的集合,称为环R的中心,记为Z(R).设R是素环,如果对于aRb=0,有a=0或b=0,a,b∈R,则称R为素环.设R是结合环,若aRa=0,a∈R有a=0,则R是半素环.设R是结合环,d是R到R的加性映射,若对任意的x,y∈R都有d(xy)=d(x)y+xd(y),则d是R上的导子.若环R的可加子群U,满足[u,r]∈U,u∈U,r∈R,则称U为环R的Lie理想.若环R的可加子群J,满足u∘r∈U,u∈J,r∈R,则称J为环R的Jordan理想.设F是环R上的可加映射,若存在R上的导子d,使得对任意的x,y∈R,均有F(xy)=F(x)y+xd(y),则称可加映射F为R上的广义导子,d为R上的伴随导子.∀x,y∈R有x∘y=xy+yx,[x,y]=xy-yx.设R是环,若映射φ：R→R满足：(i)φ(a)⊆R,a∈R,(ii)φ(a+b)=φ(a)+φ(b),a,b∈R,(iii)φ(ab)=φ(a)φ(b),a,b∈R,则称φ是R的自同构.令θ，φ是环R的自同态映射,若满足d(xy)=d(x)θ(y)+φ(x)d(y),任意的x,y∈R,则可加映射成为(θ，φ)-导子.若(θ，φ)-导子存在的情况下,满足F(x,y)=F(x)θ(y)+φ(x)d(y),d:R→R,任意x,y∈R,可称可加映射F:R→R为广义(θ，φ)-导子.设R是结合环,δ:R→R是加性映射,θ是R上的自同构.若存在R上导子δ,对任意的x,y∈R,都满足δ(xy)=θ(x)δ(y)+θ(y)δ(x),则称δ为R上的左(θ,θ)-导子.设R是结合环,δ:R→R是加性映射,θ,φ是R上的自同构.若存在R上导子δ,对任意的x,y∈R,都满足δ(xy)=θ(x)δ(y)+φ(y)δ(x),则称δ为R上的左(θ,φ)-导子.

已有一些相关学者[3]证明了素环或半素环的交换性定理,并且这些素环和半素环在对应的R子集上导子是中心化的或可交换的.在特征不为二的情况下,Oukhtite[4]等人证明了具有对合环的Posner[5]第二定理：设R是2-扭自由*-素环,U是R的平方封闭*-Lie理想,若R的非零导子d,d以U为中……