刘晓栋，吴庆宪，陈 谋，邵书义

（南京航空航天大学自动化学院,南京 211106）

无人机相比有人机，具有以下优点：尺寸更小，隐身性更好，不受驾驶员生理条件限制，具有更大的性能包线［1-3］。随着现代空战理念的发展，无人机作战必须具备大机动能力。大机动能力指无人机在超过失速迎角之后，仍有对姿态做出调整的能力［4］。大机动无人机应用在现代战场可以实现机头快速指向与小半径转弯使之迅速处于有利位置，所以研究大机动无人机控制技术具有重要的理论意义和应用价值。由于无人机没有经验丰富的驾驶员，如何保证无人机的飞行安全是需要首先解决的问题。

为了保证无人机的飞行安全，可在解算无人机安全边界的基础上进行边界保护控制。安全边界的定义与解算近年来有了新的发展，可以归纳为可达平衡集和可达集两种方法。许多学者已将上述方法应用于各类飞行器的边界解算中。雍可南综合运用可达平衡集与可达集解算出F16飞机的边界［5］。季雨璇等应用可达平衡集实现战斗机俯仰机动和滚转机动可达区域的求解，为实际飞行提供了参考［6］。针对状态约束机动，上述文献将可达平衡集和可达集应用于各类飞行器的边界解算，可以准确解算边界，然而其解算过程耗时冗长，不能满足大机动无人机边界保护的实时性要求，所以需要对上述方法进行改进以提高解算实时性。当解算出无人机的安全边界后，可以应用边界保护系统，使飞行状态不越界，进而保证飞行安全。边界保护系统的核心是保证飞行器的安全同时最大化机动能力。但传统施加限幅器的方法很大程度上限制了飞行器的机动性，所以需要发展新型结构的边界保护系统［7］。于媛媛采用指令约束的新型边界保护系统实现对期望指令的约束，保证了机动安全［8］。当应用上述新型边界保护系统实现对无人机机动指令的约束后，还需进行无人机姿态跟踪控制器的设计。

无人机大机动属于短周期姿态运动，然而机动过程中迎角远超失速迎角，会产生强耦合和强非线性［9］，使传统线性控制方法不能满足控制精度和性能的要求，需要采用非线性方法设计控制器。近些年，动态逆［10］和滑模［11-15］等非线性控制方法广泛应用于飞行控制和工业等领域。滑模控制方法由于其良好的鲁棒性，已成功运用于大机动飞行控制中［11］，并通过采用饱和函数或双曲正切函数替代符号函数的方法，有效抑制了滑模控制器的抖振［12］。顾攀飞等为研究高超声速飞机再入飞行时面临的不确定故障问题，设计了一种自适应滑模容错控制器［13］。Cao等提出自适应容错控制方案，用于研究外部干扰和执行器失效作用下的航天器姿态跟踪问题［14］。然而无人机大机动飞行过程中，如何抑制模型不确定性和外部干扰带来的不利影响是控制器设计必须考虑的。

为抑制模型不确定性和外部干扰的不利影响，径向基神经网络（Radial basis function neural network，RBFNN）和非线性干扰观测器（Nonlinear disturbance observer，NDO）方法在控制器的设计中得到了广泛的应用。Chen等利用RBFNN逼近系统不确定性，实现了三自由度直升机的容错控制［15］。Zhang等 设 计了基于NDO的反步 控 制器，消除了时变扰动对系统的不良影响［16］。根据上述研究成果可知，通过综合运用RBFNN和NDO方法可以抑制系统不确定性和外部干扰的不利影响，从而提高控制器的控制精度。

受上述分析启发，本文主要研究大机动无人机绕速度矢量轴滚转机动的边界保护控制。主要内容包括：第1节建立无人机姿态模型，并给出整个保护控制系统的结构框图。第2节基于二分法思想改进可达平衡集并引入指令约束方法，实现在线安全边界解算与期望指令生成功能。第3节引入RBFNN逼近系统不确定项，并利用二阶非线性干扰观测器补偿系统复合干扰，进一步设计自适应滑模边界保护控制器。第4节给出改进可达平衡集边界解算与绕速度矢量轴滚转机动的仿真结果。

1 问题描述

无人机绕速度矢量轴滚转机动属于短周期姿态运动，对于机动过程中的长周期轨迹运动状态量则任其自然演变，因此本文控制器设计只考虑短周期的姿态运动状态量。无人机姿态运动方程可写为［9］

式中：Ω=[α，β，μ]T为姿态角状态向量，α、β、μ分别为迎角、侧滑角和绕速度矢量轴滚转角；ω=[p，q，r]T为姿态角速率状态向量，p、q、r分别为滚转、俯仰和偏航角速度；u=[δa，δc，δr，δy，δz]T为系统控制向量，δa、δc、δr、δy和δz分别为副翼偏转角、鸭翼偏转角、方向舵偏转角、侧向推力矢量偏转角和纵向推力矢量偏转角；fs(Ω)=[fα，fβ，fμ]T和ff(ω)=[fp，fq，fr]T为系统状态函数向量；gs(Ω)和gf(ω)为系统控制系数矩阵；Δfs(Ω)和Δff(ω)为系统不确定项；ds(t)和df(t)为外部未知有界干扰向量。

根据式（1），本文定义绕速度矢量轴滚转角速率为ps，且可表示为

当无人机进行绕速度矢量轴滚转机动时［17］，ps易发生越界，超出安全可控范围导致失控。如何在保证安全的前提下进行机动，又避免盲目限制ps导致机动性能的损失，是本文研究的核心。本文围绕此问题，从边界保护与姿态控制两方面展开研究，整体结构框图如图1所示。

图1 无人机边界保护系统框图Fig.1 Block diagram of UAV boundary protection system

为了便于对系统稳定性的分析，需要引入如下假设和引理。

引理1［20］对于初始条件有界的系统，如果存在一个连续且正定的Lyapunov函数V(x)∈C1，且满 足γ0(‖x‖)≤V(x)≤γ1(‖x‖)，若 有̇(x)≤-κV(x)+c，这里γ0，γ1：Rn→R为K∞类函数且κ，c为正常数，则系统的解x(t)一致有界。

引 理2［12］对 于 任 意 的b＞0和z∈Rm，有 如下不等式成立：0＜‖z‖-zTtanh(z/b)≤mςb，其中ς满足ς=e-(ς+1)，即有ς=0.2785 。

引理3［15］对于集合Z∈ΩZ⊂Rm，RBFNN可以逼近任意连续函数f(Z)：Rm→R，即可以描述为

如果n充分大，则可得

式中：W*为最优权值；ε*为最小逼近误差，εˉ＞0为逼近误差的上界。

2 边界解算与约束指令生成

为了实现对无人机绕速度矢量轴滚转机动的边界保护，首先进行无人机在线边界解算与期望约束 指 令 生 成 研 究。本 文 在 可 达 平 衡 集［5，7-8，21］中 引入二分法思想，利用递归方法实现边界的快速解算，并引入指令约束方法实现对ps指令的约束。当解算ps的边界时，将除μ以外描述无人机姿态运动的非线性方程简写为

式中：飞行状态向量x=[α，β，p，q，r]T属于有界域X；制向量δ=[δa，δc，δr，δy，δz]T属于有界域U并且此区域由舵面偏转限制；f(x，δ)为光滑的非线性函数。

为描述绕速度矢量轴滚转机动的类型特征，引入参变量yμ为如下形式

将式（5，6）增广为求解可达平衡集的系统方程，利用牛顿迭代法求解并将可达平衡集表示为

式中：xε表示稳定状态向量；δε表示稳定控制向量。在进行稳态绕速度矢量轴滚转时，侧滑角β=0°，则将α和ps作为绕速度矢量轴滚转机动的输入［7］，利用牛顿迭代法对此时飞行状态进行求解。通过设定α和ps的变化范围与变化步长，可求解绕速度矢量轴滚转机动的可达平衡集，并将其轮廓作为此类飞行状态的安全边界。

为方便研究，本文假定绕速度矢量轴滚转机动的可达平衡集内部状态连续，进而引入二分法对边界解算的过程进行改进以提高计算速度。但实际在线边界解算时，每一周期飞行状态都在变化，此时无需要求α在确定范围内按设定步长变化以进行ps全部边界的解算，只需解算对应此时α状态的ps边界。当解算出ps边界后，引入指令约束方法［8，21］将ps的期望指令psc约束在边界范围内，从而得到受约束的安全期望指令。为阐明ps在线边界解算与约束指令生成的思想，给出流程图（图2）。

由图2可知，基于改进可达平衡集方法的在线解算ps边界与约束指令生成步骤如下：

图2 绕速度矢量轴滚转角速率在线边界解算与约束指令生成流程图Fig.2 Flow chart of online boundary solution and limited command generation for roll angle rate around velocity vector axis

（1）从系统中获得psc及α等状态量；

（2）设 定psmin=0°/s，ps=psmax=180或-180°/s，并将解算步长sps=1°/s作为递归的终止条件；

（3）设定牛顿迭代法的最大迭代步数和容许误差；

（4）解算(α，ps)点状态，得到所有舵面偏转角度，若舵面偏转均在偏转限制范围内，转到第（7）步，否则转到第（5）步；

（5）取psmid=(psmin+psmax)/2，解算(α，psmid)点状态，得到所有舵面偏转角度，若舵面偏转均在限制范围内，取psmin=psmid，否则取psmax=psmid；

（6）重复进行第（5）步，当满足条件|psmaxpsmin|≤sps时，输出psmax；

（7）当初始值psmax=180°/s或-180°/s，可分别解算ps的上界psu和下界psl；

（8）比较psc与psu数值大小，取值小的作为新psc；

（9）比较psc与psl数值大小，取值大的作为新psc；

（10）获得满足边界约束的期望指令psc。

3 姿态控制器设计

根据引理3，当采用RBFNN逼近姿态系统不确定项Δfs(Ω)和Δff(ω)，其逼近结果可表示为

将式（8）代入式（1）可得

为提高控制器的性能和抗干扰能力，在姿态角回路和姿态角速率回路中引入二阶非线性干扰观测器［18］，并利用干扰观测器输出进行控制器的设计。

3.1 姿态角回路控制器设计

在姿态角回路中引入二阶非线性干扰观测器，其表达式可描述为

针对矩阵As，若给定矩阵Ps=PTs＞0，则存在一个正定矩阵Rs=＞0，使式（15）成立。

对Vos求导得

根据式（15），有如下不等式成立

此外根据式（10），有如下不等式成立。

式中：‖Φs(Z)‖≤τs，κs＞0为设计参数。

将式（18，19，20）代入式（17），可得

在上述设计的二阶非线性干扰观测器基础上，设计姿态角跟踪控制器。定义姿态角Ω跟踪误差Ωe=Ω-Ωc，则有

滑 模 面Ss设 计 为［22］：Ss=Cs Ωe=[Ss1，Ss2，Ss3]T，其中

选 择cij(1≤i≤3，1≤j≤3)，使ci3s2+ci2s+ci1=0为Hurwitz稳定且(Cs gs(Ω))-1存在。

为减小姿态角系统抖振，此处采用双曲正切函数tanh(·)代替滑模控制的符号函数［12］，从而设计姿态角回路虚拟控制律ωc为

式中：ks＞0，φs＞0和b＞0为设计参数；Tanh(Ss/b)=[tanh(Ss1/b)，tanh(Ss2/b)，tanh(Ss3/b)]T。

为实现对ps的保护控制，将姿态角回路控制输出作为姿态角速率回路的输入。无人机在大迎角下进行稳态绕速度矢量轴滚转机动时，由于侧滑角β=0°，此时稳定性坐标系的xs轴方向与速度矢量方向重合［7］，则绕机体轴角速率到绕速度矢量轴角速率存在如下转换关系

式 中：[pc，qc，rc]T为 绕 机 体 轴 期 望 角 速 率 指 令，[psc，qsc，rsc]T为绕速度矢量轴期望角速率指令。则由式（25）可得psc=pccosα+rcsinα。将psc指令输入在线边界解算与指令约束模块中，实现对psc的约束保护，然后进行式（25）的逆转换，得到受约束的姿态角虚拟控制律ωcy=[pcy，qcy，rcy]T，再进行姿态角速率控制器的设计，进而实现无人机绕速度矢量轴滚转机动的边界保护控制。

为避免直接对受约束虚拟控制律ωcy求导，利用动态面控制方法解算其导数的近似值。设计时间常数为Γ=diag{τ11，τ12，τ13}的滤波器如下

定义滤波误差ε=cy-ωcy，可得

式中：M(·)为紧集Π0与紧集Π1：(，Ss)上光滑函数向量，则M(·)在集合Π0×Π1存在上界Mˉ。同时由式（27）可得

为证明姿态角回路控制律的有效性，选取Lyapunov函数为

为了估计最优权值，设计神经网络权值估计的自适应律为如下形式

式中：Λs=＞0，σs＞0为设计参数。

3.2 姿态角速率回路控制器设计

与姿态角跟踪控制器设计类似，设计姿态角速率回路二阶非线性干扰观测器为

同上，针对矩阵Af，若给定矩阵Pf=P＞0，则存在一个正定矩阵Rf=＞0，使式（36）成立。

在上述设计的二阶非线性干扰观测器基础上，设计姿态角速率跟踪控制器。定义受约束安全姿态角速率ω的跟踪误差ωe=ω-ωcy，则有

滑模面Sf设计为：Sf=Cfωe=[Sf1，Sf2，Sf3]T，其中Cf设计要求同Cs。

由于姿态角速率在机动过程中变化速率快，所以在指数趋近律中引入幂次项‖Sf‖a以提高收敛速度，同时采用带边界层的饱和函数Sat(·)代替符号函数，以获得更好的抗抖振性能［23］，从而设计受约束姿态角速率回路滑模控制律u为

式 中：kf＞0、φf＞0和0＜a＜1为 设 计 参 数，Sat(Sf)=[Sat(Sf1)，Sat(Sf2)，Sat(Sf3)]T，且带边界层的饱和函数Sat(·)的定义如下所示

式中：Δ＞0为边界层厚度；sgn(·)为符号函数，定义如下

为证明姿态角速率回路控制律的有效性，选取Lyapunov函数为

对Vcf求导，并将式（40）代入式（43）得

（2）当 所 有|Sfi|≤Δ时，Sat(Sfi)=Sfi/Δ，i=1，2，3，则有

此时，结合式（41～43），有

综合以上3种情况，有

为了估计最优权值，设计神经网络权值估计的自适应律为如下形式

式中：Λf=＞0，σf＞0为设计参数。

3.3 稳定性证明

上述基于RBFNN和二阶干扰观测器的自适应滑模姿态控制器可以归纳为如下定理1。

定理1针对无人机绕速度矢量轴滚转机动边界保护控制系统，在式（10）成立的条件下，如果二阶干扰观测器的形式设计为式（11，32），神经网络权值估计自适应律设计为式（31，48），则在所设计的姿态角控制律式（24）和受约束安全姿态角速率控制律式（40）的作用下，无人机姿态系统式（9）的跟踪误差是有界收敛的，并且闭环系统的所有信号是一致有界的。

为证明定理1，选取闭环系统Lyapunov函数为

对V求导，并将式（31，48）代入式（49）得

将式（51）代入式（50）可得

式中

根据式（52），由引理1可知，闭环系统所有信号是一致有界的，即上述定理1成立。

4 仿真结果

4.1 边界解算仿真对比

为了说明改进可达平衡集方法进行边界解算的快速性与准确性，本文给出ps的一类非在线边界解算结果，并对比传统可达平衡集。首先给定迎角的变化范围为α∈[0°，90°]，绕速度矢量轴滚转角速度的变化范围为ps∈[-180°/s，180°/s]，同时给定初始条件为H=3000m，V=100m/s，β=0°，μ=0°。

本文通过构建α与ps的二维坐标图表示所解算的安全边界，两种方法的边界解算结果如图3、4所示。图3中的蓝色区域为对应无人机状态的安全飞行区域，蓝色区域的外围轮廓为安全边界；图4蓝色右轮廓为安全上边界，红色左轮廓为安全下边界，两者之间的区域为安全飞行区域。对比解算结果图3、4可知，改进可达平衡集可以准确求得可达平衡集的轮廓，即安全边界。同时由两种方法的耗时对比表1可知，改进可达平衡集解算点数更少，且解算时间更少。

图3 传统可达平衡集解算结果Fig.3 Reslult of traditional attainable equilibrium set

图4 改进可达平衡集解算结果Fig.4 Reslult of improved attainable equilibrium set

表1 耗时对比Table1 Time consumption comparison

4.2 边界保护控制系统仿真验证

给定绕速度矢量轴滚转机动仿真初始条件为：高度H0=3000m，速度V0=100m/s；初始姿态角为α0=60°，β0=0°，μ0=0°；初 始 姿 态 角 速 率 为p0=q0=r0=0°/s；参考输入信号为迎角αc=60°，侧滑角βc=0°，绕速度矢量轴滚转角μc［5］。

仿真时，在无人机姿态模型中加入参数不确定性和外部数值干扰，其中气动系数不确定性为±20%，姿态角回路和姿态角速率回路干扰为

姿态角回路干扰观测器设计参数为：ps1(Ω)=ps2(Ω)=3[α，β，μ]T和Ls1(Ω)=Ls2(Ω)=3I3。

姿态角速率回路干扰观测器设计参数为：pf1(ω)=pf2(ω)=3[p，q，r]T和Lf1(ω)=Lf2(ω)=3I3。

控制器参数的选择为：b=0.4 ；Δ=0.05 ；Cs=Cf=[4，3，2；1，4，2；2，3，4]；a=0.9 ；φs=φf=0.5 ；ks=diag{4，4，4}；kf=diag{8，8，8}；κs=κf=10；Λs=Λf=diag{5，5，5}；σs=σf=0.5 ；滤 波 器时间常数为Γ=diag{0.08 ，0.08 ，0.08 }。则仿真结果如图5～7所示。

图5 姿态角跟踪曲线Fig.5 Attitude angle tracking curves

图6 姿态角速率跟踪曲线Fig.6 Attitude angle rate tracking curves

由仿真曲线图5、6可知，所设计的自适应滑模姿态控制器可以使无人机有效跟踪期望姿态角指令[αc，βc，μc]T及 受 约 束 后 的 姿 态 角 速 率 指 令[pcy，qcy，rcy]T。由仿真曲线图7可知，当绕速度矢量轴滚转角速度的期望指令psc超出在线解算的上边界psu或下边界psl时，指令约束器就会将其约束在边界范围内，既保证了机动的安全性，又不损失机动性能。绕速度矢量轴滚角速度ps在整个机动过程中没有越界，因此所设计的边界保护控制方法是有效的。

图7 绕速度矢量轴姿态角速率曲线Fig.7 Attitude angle rate tracking curves around velocity vector axis

5 结 论

本文针对无人机绕速度矢量轴滚转机动边界保护控制系统，首先研究了基于二分法思想的改进可达平衡集确定安全边界算法，加快了在线解算边界的速度，同时引入指令约束方法实现了对期望指令的约束。其次，设计了基于RBFNN和二阶非线性干扰观测器的滑模控制器，实现了外部扰动和系统不确定性综合作用下的大机动无人机姿态系统的指令跟踪控制。通过选取闭环系统Lyapunov函数，证明了所设计控制系统的稳定性。最后，通过数字仿真验证了所设计边界保护控制方法的有效性。