张 宁，张海霞，杨斌鑫

(太原科技大学 应用科学学院，太原 030024)

本文基于文献[1]的结论和证明方法，通过优化简单图和二部图的Estrada指数的界，得到连通图和连通二部图的Estrada指数的界，得到半正则图的Estrada指数的界。最后讨论了Estrada指数的若干应用。

1 背景知识

1.1 研究现状与研究意义

研究现状：Estrada指数提出后，引起了数学工作者的关注.研究者试图通过建立Estrada指数与图的结构参数之间的联系，刻画图的结构性质。本文研究Estrada指数的界，对界进行估计。

研究意义：Estrada指数应用广泛，具有较高的理论意义和实际价值。

1.2 相关定义

简单图：图既没有环也没有两条边连接同一对顶点。

连通图：若G只有一个分支，则称G是连通的。

二部图：图的顶点集就是分为两个子集X和Y，使得任意一条边都有一个端点在X中，另一个端点在Y中。

k正则图：若对所有v∈V，有dv=k.

半正则图:每个顶点的度是r1或r2的二部图，且任一边连接的是度为r1和r2的顶点。

(n，m)图：n个点，m条边的图。

邻接矩阵：表示点与点相邻关系的矩阵。

1.3 Estrada指数的性质

A(G)表示G的(0，1)邻接矩阵[1]，A(G)的特征值，构成了G的谱.n个点的图有n个特征值.图的特征值定义为λ1，λ2，…λn，并且按递减序列排列：λ1≥λ2≥…≥λn.

2000年，E.Estrada在文章中最先引入Estrada指数。定义为:

(1)

称为Estrada指数。

(2)

从文献[2]中，Mk(G)等于G的长为k的圈的数量。

性质2：如果G是二部图，n0是特征值0的重数，

(3)

2 一些特殊图的Estrada指数的界

文章的前两个定理的下界，算到三阶谱矩。为了提高下界，利用正确的猜想。

猜想1：在n个点的连通图中，路有极小Estrada指数。

该猜想是由文献[3]的作者提出并给出证明。……