王 坚，江东林，胡啸晗

(1.龙岩学院 福建龙岩 364000；2.浙江树人大学 浙江杭州 310015)

1 预备知识

设G为有限群，C(G)为G的循环子群的集合。记c(G)为G的循环子群的个数，d(G)为G的阶的因子个数。众所周知，c(G)≤|G|，等号成立当且仅当G为初等交换2-群，其中|G|为G的阶。而c(G)也有下限，文献[1]中证明了c(G)≥d(G)，等号成立当且仅当G为循环群。最近文献[2]中给出了满足c(G)=|G|-1的G的结构。随后文献[3]给出了满足c(G)=|G|-Δ，Δ=2，3，4，5时G的结构。

当c(G)接近d(G)时，这方面的结果较少，本文给出满足c(G)=d(G)+1的paqb阶群的完全分类。文中出现的术语以及符号都是标准的，具体可参见文献[4-5]。

为后续讨论方便，将文献[1]的主定理作成引理，同时给出阶互素的两个有限群的直积的循环子群个数的一个结果。

引理1[1]设G为n阶有限群，则G的循环子群个数大于等于n的因子个数，此外，G的循环子群个数等于n的因子个数当且仅当G循环。

引理2 设U与V是阶互素的两个有限群，则c(U×V)=c(U)×c(V)。

证明不妨设U为一个π-群，对任意的x∈U×V，则x=xπ·xπ′，其中xπ∈U，xπ′∈V。进一步可得〈x〉=〈xπ〉·〈xπ′〉。反之，U的任意一个循环子群与V的任意一个循环子群之积也是U×V的循环子群。结论成立。

2 主要结果

命题设G为paqb阶群，H是G的一个次正规子群，则

c(G)-d(G)≥c(H)-d(H)。

证明根据递归，不妨设H是G的一个极大正规子群，将不等式化为c(G)-c(H)≥d(G)-d(H)。由于paqb阶群可解，此时H是G的一个极大子群，不妨设它在G中的指数是p，进一步可得d(G)-d(H)=b+1。

若G为p群，d(G)-d(H)=1，结论显然成立。因此可设P，Q分别为G的西罗p-子群，q-子群。根据Frattini论断，G=HNG(Q)=HNP(Q)。取不属于H的NP(Q)的元素x，则G=H〈x〉，xp∈H。〈x〉的Q-共轭类长为|Q∶NQ(〈x〉)|。根据引理2，NQ(〈x〉)×〈x〉不包含于H的循环子群的个数为c(NQ(〈x〉))。

(i)Q=NQ(〈x〉)。c(G)-c(H)≥c(Q)，由引理1，c(Q)≥d(Q)=b+1，结论成立。

(ii)|Q∶NQ(〈x〉)|=qi，i≥1。

c(G)-c(H)≥qi-1+c(NQ(〈x〉))≥qi-1+b-i+1≥b+1。

证毕。

定理设G为paqb阶群，则c(G)=d(G)+1当且仅当G同构于C2×C2，Q8与C3∶C2m之一，其中C3∶C2m是3阶群与循环2-群的半直积。……