段志贵 王光明 张建伟

(1.盐城师范学院数学与统计学院 224002;2.天津师范大学教育学部 300387)

多年来国内外解题与解题教学的理论研究方兴未艾，成果丰硕.如何把这些成果进一步应用到具体的解题与解题教学实践之中反哺理论研究也成为大家共同关心的话题．本研究拟通过有着特级教师荣誉、正高级教师职称的G老师的一节解题教学优秀课例，深入探讨解题教学自然生发的“发问、发现、发省和发展”实施过程，凝练并具体分析“4F”解题教学的模式构建、运行方式及其应用价值．

专家型教师G老师任教于苏南某市普通高中多年，教学经验丰富.他的这节解题教学课例选用的是“圆锥曲线”单元教学结束后的一道检测题[1]：

设双曲线x2-y2=2021的左、右顶点分别为A1,A2，P为其右支上一点，且∠A1PA2=4∠PA1A2，则∠PA1A2=．

G老师发现这道测试题的检测结果非常不理想.全班一共45名同学，40名同学或是答错，或是空白；还有5名同学，虽然正确，但是答案却是通过作图猜测的.他在反思：这道题有那么多学生没有思路，究竟难在何处？如何讲解才能让学生学得灵活，理解得深刻，并能由此及彼触类旁通呢？

1 发问——查找解题症结

波利亚解题理论告诉我们，解题的第一步是弄清题意．弄清题意的目的就是要深入剖析从条件到结论需要跨越的障碍，明了问题解决的症结所在，为后续解题攻克堡垒打开通道．让我们首先看看G老师是如何组织开篇第一环节教学的．

师：同学们，这道题看上去已知和未知非常明确，怎么求解？请说说你的想法．

生甲：老师，我在想可否利用双曲线的定义去解题，|PA1|-|PA2|=2a,然后利用余弦定理，通过已知的边角关系去求出角α．

G老师评述说，甲同学想到的是“回归定义”，这是一种常用的解题策略．他请同学们想想看，甲同学的方法是否可行．同学们议论纷纷，有同学大声指出甲同学的思路不对，“回归定义”应该是动点P到双曲线两个定点(即双曲线两个焦点F1,F2)的距离之差，而不是动点到双曲线的两个顶点的距离之差．

师：同学们说的对．甲同学对定义的理解不是很透彻，犯了一个知识性错误，下次一定要注意．在本题中，A1、A2是双曲线的左、右两个顶点，而不是两个焦点．由此可见，仔细审题非常关键，它是成功解题最基本的一个要求．

G老师要求同学们再仔细想一想，本题已知什么条件，已知的双曲线和P点各有什么特征？未知(待求)什么？可否根据已知条件做出一张草图，以帮助思考．在G老师的引导下，学生们重新梳理了题目中的“重要信息”，根据题意画出了草图(如图1所示)，并且标注了两个已知角之间的4倍关系．

图1

G老师给同学们5分钟的时间，让大家独立思考．他在教室里转了一圈，发现学生们大多紧锁眉头，看上去都没有找到一个可行的方向．个别同学在草稿纸上写写画画，有的同学标注出了相关点及已知条件的信息，但也只是止步于此，再无进展．于此，G老师适时开始了课堂发问：大家遇到了哪些困难?哪些困难的解决是容易的？哪些困难尚未获得突破？有没有思考可能的破解方法？好多学生反映不知道∠A1PA2=4∠PA1A2这个条件怎么使用．显然这就是影响同学们发现解法的症结所在，也是解决问题的关键所在．

迅速找到解题的发问点(关键点)是破解问题的关键一步．观察发现，一些看似复杂的表达式，或是无法直接套用的变量关系，或是联结各类条件(或结论)的核心概念等，都可能成为解题需要盘根问底的重点对象，都有可能成为解题的发问点．基于对G老师这一教学环节的赏析，我们还看到了解题教学的发问时机和发问角度的恰当选择也非常重要．立足于学生立场，指向学生感知，不难发现：学生的愤悱之时就是发问的最佳时机，引领学生思维同步推进的问题视角就是最好的发问角度．

有些人眼高手低，感觉发问没有意义，找到解题症结又如何呢？事实上，没有找寻发问点的解题只是一种尝试性的试验，没有方向感，带有盲目性．这样做也可能把问题解决，但解题能力并不会因此获得多少长进．而G老师引领学生找到了解题症结，就可以集中精力全力以赴地攻克它．一方面，通过发问为问题的解构奠定基础，深化了对问题本质的理解，为问题的逐步解决找准了方向；另一方面，通过发问去查找症结，培养了学生的思维习惯和意志品质，为学生树立了标杆，建立了解题信心，积累了解题经验．

2 发现——探索解题路径

问题的症结虽然找到了，可是如何更进一步化解这一症结，从而寻找到有效的解题路径呢？可以看到，G老师自始至终都在用启发性的语言，调动学生的积极性、主动性和创造性，引领学生将各种数学知识联系起来，将已有的学习经验与数学知识联系起来进行分析和探索．

师：一般情况下，题目所给的条件都有用处．当你们面对一个一时用不起来的条件，想过怎么办吗？可否把已知条件与之前学过的一些知识联系起来考虑？可否把这个条件进行转化？前后桌4人一个小组讨论5分钟，之后进行班级交流．

5分钟过后，G老师请各小组代表汇报本组的讨论进展．

小组1组长：老师，我们组想从双曲线定义入手解决问题，但是行不通．

小组2组长：老师，我们组想通过解三角形△PA1A2来求寻求突破，尝试发现不通．

小组3组长：老师，我们小组利用双曲线方程，从观察方程的角度入手，引入点P、点A1和点A2的坐标，想求解∠PA1A2的正切，也行不通．

……

G老师在充分了解各小组讨论进展的基础上，发现小组1和小组2的学生想法离正确的思路还很远，小组3的学生虽然看似找对了解题方向，却又无法进一步转化问题，突破解题瓶颈．G老师决定先不直接给出转化的要点．他让小组3组长把他们的进展写在了黑板上，并让大家沿着该组学生的思路继续解决问题．

小组3组长走上讲台在黑板上书写了如下内容：

不妨设∠PA1A2=α，则∠A1PA2=4α．

由双曲线x2-y2=2021，得顶点坐标为

师：请各小组继续讨论，这两个斜率可以如何使用？

2分钟后，小组4的同学们举手，跃跃欲试．G老师请他们分享讨论结果．

小组4组长：老师，我们发现直线PA1，PA2的斜率乘积是二元二次方程，与双曲线方程有关，化简后是定值．

师：很好．请说出你的推导过程．

师：很漂亮的解法．

这时第1小组一位女生举手要求发言．

图2

师：很好！乙同学的方法比刚才第4组所给出的方法简洁得多，利用了初中有关两个三角形相似的知识，替代了繁琐的三角函数角与角之间的运算，很直观．

至此，在小组3和小组4的共同努力下问题终于得到了解决，乙同学在此基础上，还进一步优化得到了更简洁的解法，同学们都露出了满意的笑容．

每一次探索发现的教学，都是一次解题思路生成的过程．这里虽然只是简要记述了在G老师引领下的同学们精彩发现的几个片段，但是，透过这些师生共同参与的活动，我们看到G老师放手而非“牵手”，启发而非束缚，把解题发现融合在“弄清题意——联系旧知——小组讨论——全班交流——辨析思考——尝试猜想——转化(化归)问题——点燃(思维)火花——一题多解”的教学过程之中，这与波利亚在《数学的发现——对解题的理解、研究和讲授》中构画的解题思维导图有着异曲同工之妙．他让波利亚提出的“动员”“组织”“分离”“组合”以及“辨认”“回忆”“充实”“重组”等[2]解题策略落地开花，不仅展现出更具体的解题操作细节，而且也在解题教学过程中更进一步地突显了学生的主体地位，讨论、交流、辨析、探索、联想浑然一体，解题思维得到了充分的展开和训练，解题发现自然、真实，取得了显著的教学效果．

3 发省——反思解题过程

在获得问题所求答案后，许多老师容易忽视解题之后的总结与反思，大多数学生更是如此．正如波利亚所说，解题回顾是“领会方法的最佳时机”，“没有任何一个题目是彻底完成了的”，“无论如何，我们总可以深化我们对答案的理解”．让我们一起来看看G老师在本例教学中是如何引导学生推进解题反省的．

一方面，G老师总结了常见错误，特别提到了甲同学的“回归定义”的解题思路，肯定了他的想法，同时指出这一错误一开始就让解题走错了方向，把“好的工具”用错了地方，教训深刻．经过G老师这一点评，相信同学们都会尽量避免再犯同类错误．另一方面，G老师组织大家回顾解题方法．他请第4小组组长介绍本组同学是怎样萌生解题思路的．

小组4组长：我们小组在您提到α是倾斜角，分别求出直线PA1、PA2的斜率后，猜想这两个斜率会不会有什么关系或联系，于是结合已知条件，当把它们乘起来后得出乘积正好为1，进而通过三角变换相关运算可以求出待求的角度．

师：很好！一个“好的念头”产生了好的结果．其实解题方法并不唯一．我们再请乙同学说一下是如何想到她的思路的．

生乙：我的想法建立在第4小组的基础上，我感觉他们计算的过程有点繁琐了，可否有更简单的方法，于是依据对应线段成比例，就想到了用相似三角形去做．

师：非常好！刚刚两位同学回顾了他们解题念头产生的背景和萌发的原由，大家应该受到了启发．哪位同学说说看，通过解这道题，你还有什么收获？

生丙：我感觉转化思想非常重要．本题中对角进行转化，转化为斜率，转化为边之比，转化为相似三角形，不断转化是解题成功的关键．

G老师非常认可丙同学的体会，并跟进和解释了丙同学的收获——转化是数学区别于其他学科的一个重要是想，也是数学解题的一个重要法宝，有的专家称之为化归，并说他更喜欢把这种能力称之为数学解题的变通能力．他强调第4小组、乙同学之所以能成功解题，得益于他们脑海里涌现的“好的念头”，大家一定要善于把控解题过程中出现的每一个念头，努力让“好的念头”开花结果．更进一步地，G老师还提出“好的念头”往往来源于你对问题的分析和理解，来源于你是否具有厚实的基础知识和基本的解题经验，来源于你能否具有灵机一动计上心来的变通能力．

美国心理学家波斯纳提出的“经验+反思=成长”的成长公式同样适切于解题能力的获得与进步．解题后经常性地总结与反思，有利于养成“回头看”的思考和解决问题的习惯，有利于厘清数学问题及其解答的来龙去脉，有利于透视解题过程中的种种“遭遇”并明晰被征服的困难的实质，有利于梳理数学问题、方法和理论之间的广泛联系，有利于高屋建瓴地审视许多相关结果中的交汇点[3]．

在解题发省这一教学阶段，G老师回顾了解题过程,检查了相关解题细节． 一方面,强调了对错误解法的反思,查找到错解发生的原因,提醒学生避免错误再次发生;另一方面,启发学生进行解题方法发现的回顾与总结,引领学生充分地认识解题规律,理解解题关键, 把握解题本质,积累解题经验. 他不仅让学生“知其然”，而且更要“知其所以然”，有意识地引导学生对数学解题过程再回顾、再检查,以期加深学生们对数学的认知，促进学生们解题思维的生长．

贯穿在解题发省过程中的G老师的教学思想也值得点赞．他非常重视学生数学思想的形成和数学方法的运用，注意保护学生学习的主动性和积极性,对学生在解题中萌发的解题“念头”加以充分肯定，鼓励他们大胆思考、积极尝试，引导他们不断探索和发现问题，鼓励他们在寻求问题解决更简洁的思路和更多条通道中丰富解题经验,提高解题能力．

4 发展——拓展解题思维

对原题进行必要的拓展与延伸，是解题教学的目标要求．这一阶段，重在变换条件结论，归纳和提炼出更多具有相关性、相似性、相反性的新问题，引导学生探索、发现其中的解题规律，激发学生创造性思维潜能，拓展深化学生对知识理解的深度与广度．在这一解题教学阶段，教师既是问题情境的创设者，学生解题的合作者、指导者，又是解题活动的组织者、促进者，以及解题过程的引领者、调控者．

师：大家不要忙着收起草稿本，请在解题完成后再次回顾解题过程，也许你们会产生一些新的想法，收获一些意想不到的发现．

受到G老师启发，同学们一个个都睁大了双眼，更仔细地阅读原题，回顾解题过程，分析解法，探索可衍生的结论．

生丁：(举手)好像“2021”这个数字并不重要，可以换成其它任何正数都行．

师：能说说为什么不影响结论吗？

生丁：因为后面的计算结果没有直接用到“2021”，直觉告诉我，“2021”可以换成任何正数．

师：好的，倘若按你所设“2021”替换成a2，你能把这个新编的题目说一说吗？

生丁：设双曲线x2-y2=a2(a>0)的两个顶点分别为B1，B2，P为其右支上一点，且∠B1PB2=4∠PB1B2，求∠PB2B1.

绝大部分学生也都脱口而出，并且说出答案还是15°．G老师看到他们兴奋的样子，又开始追问．

师：有没有同学对双曲线的方程有一种更为大胆地“变式”？

师：待求什么？请具体说一说.

G老师面带笑容，追问戊的同桌己同学．

师：己同学，你说∠PB2B1可求吗？

生己：如果是一般形式的双曲线，好像∠PB2B1不确定，不一定可求，但是这时直线PA1，PA2的斜率乘积应该是定值．

紧接着，G老师请己同学解释他的想法．己同学说是依据两个斜率的表达式直觉想到的．G老师进一步请己同学到黑板(板演)推证：

G老师表扬了己同学，其他学生也流露出敬佩的眼神．从学生的表情中G老师读懂他们有迫切希望解决新问题的强烈愿望，感觉促进学生思维生长的兴奋点已经来临．于是，G老师引领同学们将问题继续深化下去，创造了又一个发展学生思维、提升学生解题素养的绝佳时机．

师：非常棒！那么本题还可以进一步延伸和推广吗？

短暂的沉默之后，又有同学举手了．

生庚：可以把双曲线改编为椭圆，命题可能一样成立．这个命题是：

G老师追问他这里的定值是什么，庚同学说自己还不知道．有的学生猜想和双曲线一样是“e2-1”．那么，这里的定值究竟是什么呢？是“e2-1”吗？带着疑惑，G老师和学生一起进行了验证，从而得到结论：直线PA1、PA2的斜率乘积是定值，定值为e2-1．

师：如果把题中的左、右顶点换成上、下顶点呢？

话音未落，有学生就计算出了答案：当椭圆的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于顶点的一动点，直线PA1，PA2的斜率乘积是定值，同样也是e2-1．

师：好像很有趣，是不是？从中你有什么发现？

师：很好．大家有没有想过，本题还能作进一步延伸和推广吗？谁有想法？

大家沉默思考了片刻，坐在后面的一位男生打破了教室里的宁静．

生壬：我在想，如果A1、A2不是长轴(或实轴)的两个顶点，而是过中心O的任一条直线与圆锥曲线的两个交点呢，此时PA1、PA2所在直线的斜率乘积还是定值吗？

师：怎么会产生这个想法的呢？说说看．

生壬：过去常用旋转法做题，我把这一方法联想到本题中来了．我先对椭圆问题作出猜想，然后对双曲线问题进行猜想，如图3、图4所示．具体地猜想是：

图3

图4

师：太棒了，大家把掌声送给他．(教室里响起热烈的掌声)

同学们意犹未尽，限于时间，G老师要求大家课后尝试着去证明这两个结论，并介绍说它们是圆锥曲线知识技能中的一个重要内容．他告诫同学们，解题的探索过程本就是一个经验积累的过程．学习一道题，不能只收获一道题的解答过程，不能只收获一种解法．同样，任何时候的学习，都不应只满足于简单的记忆，正如这道题的学习，要学会发问，学会在发问中发现、发省和发展，并不止步于此，把已掌握的方法、结论应用到更充满挑战的问题解决中去．

解题发展有别于解题发省，它是建立在解题发省基础之上的解题思维生长．在这一环节，G老师从“2021”这个数字的可替代性出发，启发学生对原题进行拓展延伸，从而发现规律．他让学生尝试着改造或创造一些新题目，此举极大地调动了学生们学习的积极性．在师生、生生互动过程中，将题目中的等轴双曲线改编成标准形式下的双曲线并证明了标准形式下的双曲线中PA1，PA2的斜率乘积仍然是定值．接着利用类比法将题设条件又由双曲线改造成椭圆，并进一步探讨了问题的结论，把证明留待课后思考．

正如波利亚所说，“数学不是堆砌起来的符号和公式，而是生动活泼的智力活动”，“数学活动是猜想和论证循序交替、不断发展的过程，是演绎和归纳的辩证统一”[4]．这一发展性解题教学环节，激发了学生的学习热情，提升了他们的解题素养，为他们后续解决更多、更深、更广泛的同类数学问题积累了宝贵经验，奠定了坚实基础．

5 “4F”解题教学透析

回顾本节课的解题教学，我们看到G老师基于解题教学目标，采用了从发问切入，然后到发现解法，再到发省，最后又通过师生、生生合作交流，引领学生不但解决了问题，而且使建立在解题能力提高基础上的解题素养获得更大发展．G老师的这一解题教学法，可以简洁地凝练成以下“4F”解题教学示意图，如图5所示．

图5 “4F”解题教学示意图

图5所示的“4F”解题教学中，“解题发问”居于解题教学的中心，围绕着“解题发问”有3条从“解题发问”出发的折线，分别指向“解题发现”、“解题发省”和“解题发展”．“4F”解题教学也是引领学生从谋求解法发现到超越问题解决，解题能力不断提升、数学思维不断生长的一个螺旋式递进过程．

首先，解题发问是探索解题路径的起点．真正有效的解题教学，一定要抓住问题的要害，揭示问题解决的关键．解题发问居于解题教学的中心，它不但影响着解题发现，也影响着解题的发省和解题的发展．通过发问，可以引导学生从发现到发省，反思解题的成功经验与失败教训；通过发问，可以引导学生从发省到发展，在解题延伸与拓展中深度学习，拓宽解题视野，提高解题素养；通过发问，还可以引领学生带着发展了的解题本领接受新的问题挑战，解决层出不穷的新问题，去发现、发省、再发展，循环往复，不断向前．

其次，解题发现是捕获解题方法的关键．一道数学问题的解法发现，没有发问就可能找不着方向.然而只有发问，也未必会直接带来发现．解题的发现还依赖于厚实的数学基本功以及丰富的解题经验积累．解法的获得可能是一个漫长而又曲折的发现过程.这一过程融合了解题者的智慧，在待解决问题与一些熟悉的、已解决了的问题之间架设了沟通的桥梁；这一过程化解了解题症结并连结了条件和结论、已知和未知，打开了求解的通道．

再次，解题发省是提升解题能力的基石．从解题发现到解题发省，要求教师的解题教学在基本完成问题解答后，要趁着学生头脑中还有着清晰的体验，让他们去回顾解题过程，反思推理过程中的错误并分析其中的原因；反省是否还存在其它解法，比较各种解法的优缺点．

最后，解题发展是培养解题素养的阶梯．解题能力的提升，不能仅仅满足于就题论题的反省，还要对问题作进一步宏观上的认识和理解，透过现象看本质，改变问题的提问方式、覆盖领域、形式结构以及应用范围等，以实现对问题的拓展与延伸，促进学生深刻理解相关解题方法与策略，帮助学生内化为具身性的解题知识和能力、数学思维与素养．

综上，“4F”解题教学遵循认知建构教学原理，通过解题“发问、发现、发省和发展”四个环节的解题教学，助力学生对先前知识和化归、类比、直觉、联想等思想方法的综合运用，帮助学生在自然状态下萌发和生长解题思维，训练解题能力，提升解题素养，圆满践行了解题理论指导下的解题教学实践．实践证明，“4F”解题教学法不仅教学意图明显，教学思路清晰，而且能充分激发和调动学生的课堂参与热情，营造良好的课堂教学氛围，有效地提高解题教学质量．