考虑主平面夹角的行星滚柱丝杠副接触特性

2021-12-23郑继贵张兆晶何理论

导弹与航天运载技术 2021年6期

陈中，郑继贵，侍威，张兆晶，何理论

（北京精密机电控制设备研究所，北京，100076）

0 引言

行星滚柱丝杠副（Planetary Roller Screw Mechanism，PRSM）作为将旋转运动转换为直线运动的重要传动机构，具有高承载、高精度、高寿命的优异性能，已经在精密数控设备、光学测量仪器、航空航天、武器装备等领域得到了广泛的应用[1,2]。PRSM在传动过程中通过螺纹曲面相互接触来传递载荷，特别对于滚柱和丝杠接触侧，由于丝杠的螺旋升角和滚柱不一致，使得两者之间的接触更为复杂，而接触区域的精确求解对于后续接触特性分析具有重要意义。

目前，一些学者针对PRSM的接触特性开展研究，Wang Shuiming等[3]通过建立接触匹配方程对接触点的位置进行精确求解，并研究了零件的轮廓误差对接触特性的影响规律。关于PRSM接触区域的求解多采用等效球法来计算主曲率，刘艳强等[4]基于等效球法求解了PRSM的接触参数，并研究了结构参数对接触变形及应力分布的影响规律。然而，等效球法计算主曲率存在较大偏差，因而部分学者引入微分几何原理来计算主曲率。Jones等[5]通过建立Frenet坐标系推导出PRSM各零件螺纹曲面方程，求解了接触点的位置以及主曲率。Sebastian Sandu等[6,7]建立了螺纹法截面轮廓的螺旋曲面方程，并基于微分几何原理对主曲率以及接触椭圆的位置和形状展开了研究。乔冠等[8]基于螺纹滚道法截面轮廓，建立了PRSM各零件螺纹曲面统一方程，求解了接触点处的主曲率，同时引入主曲率和与主曲率差对接触特性进行分析。综上所述，利用微分几何原理的方法可以更准确计算出主曲率，但现有研究在求解时都有所简化，认为接触体之间的主平面相互重合，这在简化计算的同时也会带来偏差。

本文以标准式PRSM为研究对象，结构如图1所示。针对PRSM的传动特点，基于微分几何原理计算出主平面夹角，进而精确求解接触椭圆的形状，并与现有研究的简化方法进行对比，同时研究了主平面夹角对接触特性的影响规律。

图1 PRSM结构Fig.1 Structure Drawing of PRSM

1 主曲率及主方向

滚柱丝杠侧和滚柱螺母侧的接触可看做两空间曲面之间的弹性接触，而主曲率以及主方向的求解是PRSM接触特性分析的基础。以丝杠、滚柱和螺母的轴线为zi轴，xi轴经过螺纹起始点，分别建立各零件的坐标系，螺纹曲面上任意点空间坐标可表示为(rpi,θpi,zi)，下标i=s,r,n，分别表示丝杠、滚柱和螺母，如图2所示。

图2 零件坐标系Fig.2 Part Coordinate System

依据螺纹法截面轮廓可建立PRSM零件螺旋曲面统一方程[8]：

式中ξ可取-1和1，分别表示上曲面和下曲面；h(rpi)为各零件在法截面的轮廓方程；li和λi分别为零件的导程和螺旋升角。

螺旋曲面参数方程可表示为

零件轮廓曲面的单位法向量可表示为

基于微分几何理论[9]，可依据零件曲面的参数方程求得曲面在任意一点的主曲率及主方向。螺旋曲面的第1类基本量E、F、G和第2类基本量L、M、N的计算公式如下：

式中fr和fθ为一阶导数；frr，frθ和fθθ为二阶导数。

曲面上任意一点的两个主曲率可用κ1和κ2表示。

式中H为平均曲率；K为高斯曲率。

主方向用dr:dθ表示，满足下列等式：

这是关于dr:dθ的二次方程，可解得主方向：

将主方向转化为零件的笛卡尔坐标系中的矢量为

2 主平面夹角

主方向与接触点处的法向量相互垂直，两者共同组成主平面。由式（12）计算可得到各零件坐标系下接触点处的主方向，通过建立全局坐标系，利用坐标变换关系可求得两主平面夹角。由于主平面夹角不受主方向矢量的位置影响，因此只需对各零件在接触点处的主方向进行旋转变换即可。本文选取全局坐标系和丝杠坐标系重合，为确保螺纹能够正确接触，建立如图3所示的坐标系。

图3 正确接触时坐标系示意（xOy平面）Fig.3 Schematic Diagram of Coordinate System in Correct Contact (xOy Plane)

以5头螺纹的丝杠为例，其他头数推导过程类似。假设丝杠侧接触点在理论中径所在螺旋线上，选取丝杠和螺母的某一头螺纹，当丝杠在角度为αs位置上与某一滚柱接触时（αi为接触点角度，即接触点相对xi轴转过的角度，用弧度制表示，i=s,rs,rn,n ，分别表示丝杠、滚柱在丝杠侧、滚柱在螺母侧以及螺母处的接触点），丝杠侧接触点相对螺纹起始点高度：

式中p为螺距。

为保证滚柱与丝杠的准确接触，滚柱与丝杠在该点处的高度应该相等，即：

αrs=5αs，此时滚柱在滚柱螺母侧的接触点角度为

同理，滚柱螺母侧接触点处应满足：

计算得到螺母接触点角度为

上述每个零件的曲面方程所建立的曲面坐标系是相互独立的，且都是基于全局坐标系xyz（见图4）。

图4 曲面方程确定的零件坐标系（xOy平面）Fig.4 Part Coordinate System Determined by Surface Equation (xOy Plane)

因此，为达到图3所示的接触状态，需要对此时的零件坐标系进行坐标变换。由图2可知，全局坐标系变换到滚柱坐标系的旋转角度为

则滚柱的旋转变换矩阵为

全局坐标系变换到螺母坐标系的旋转角度为

因此，螺母的旋转变换矩阵为

对于滚柱丝杠侧，由式（12），可以得到丝杠和滚柱的主方向，设为ts1、ts2、trs1和trs2，对应的单位法向量为ns和nrs，则全局坐标系下丝杠两主平面可表示为[ts1;ns]和[ts2;ns]，滚柱两主平面为[kr∙trs1;kr∙nrs]和[kr∙ts2;kr∙nrs]，利用matlab软件，即可求得丝杠侧两接触零件之间主平面的夹角ωs，同理可计算得到螺母侧主平面夹角ωn。

3 Hertz接触特性分析

依据Hertz接触理论，两点接触的弹性体在受到外加载荷的情况下，接触点处发生弹性变形变为椭圆区域。两接触体点接触一般情况如图5所示，其中R11表示物体1在主平面1内的曲率半径，第1个下标表示接触体代号，第2个下标表示主平面代号[10]。

图5 两接触体点接触一般情况Fig.5 General Situation of Point Contact between Two ContactBodies

接触椭圆长短半轴计算公式分别为

式中Q为法向接触载荷；E，μ分别为材料的弹性模量和泊松比；ma，mb分别为椭圆长短轴系数；为主曲率和。计算公式如下：

式中e为椭圆偏心率。

主曲率函数满足下列等式：

式中k为椭圆短半轴和长半轴之比；K(e)，L(e)分别表示第1类和第2类完全椭圆积分。

依据式（22）~（26）即可求得椭圆偏心率e。

4 算例

本文采用PRSM的结构参数如表1所示。

表1 PRSM基本参数Tab.1 Basic Parameters of PMSM

依据表1中的基本参数，利用Matlab软件绘制螺旋曲面如图6所示。由图6可看出在滚柱丝杠接触侧存在明显干涉，导致在名义中径处主平面[ts1;ns]和[kr∙trs1;kr∙nrs]的夹角与主平面[ts2;ns]和[kr∙ts2;kr∙nrs]的夹角不一致，因此取两夹角的均值来近似表示滚柱丝杠侧的主平面夹角。

ω=0的简化计算与本文的计算结果对比如表2所示。利用matlab软件，计算出接触点角度αs∊[0,2π]时滚柱丝杠侧与滚柱螺母侧主平面之间的夹角ωs和ωn，变化曲线如图7所示，可以看出，滚柱在任意接触位置丝杠侧和螺母侧主平面之间的夹角保持不变。

图6 各零件曲面Fig.6 Contact Surface Diagram of Each Part

表2 两种方法计算结果对比Tab.2 Comparison of Calculation Results of Two Methods

图7 不同接触位置主平面夹角Fig.7 The Principal Plane Angel at Different Contact Positions

螺距和牙型半角对丝杠侧和螺母侧主平面夹角的影响如图8所示，星号标出数据为丝杠直径ds=30 mm情况下Rollvis行星滚柱丝杠副RV系列产品所使用螺距的计算结果。可以看出，丝杠侧和螺母侧主平面夹角随螺距的增大而增大，呈现出近似线性关系。并且在螺距较大时，丝杠侧夹角增速放缓，使得两者夹角的偏差增大。而随螺纹牙型半角的增大，主平面夹角减小，且螺母侧减小的速度更快。

椭圆偏心率e的取值范围为[0,1]，e越大，椭圆越扁。图9和图10分别为丝杠侧、螺母侧螺距和牙型半角对偏心率的影响曲线。在考虑主平面夹角的情况下，接触椭圆的偏心率并不是随螺距和牙型半角线性变化的，而是波动改变的，但丝杠侧椭圆偏心率相较于ω=0时普遍偏大，而螺母侧则呈现出普遍偏小的趋势，且两种方法螺距随偏心率的最大计算偏差能达到8.7%，牙型半角随偏心率的最大计算偏差能达到7.2%。