基于MATLAB与CATIA的渐开线斜齿轮精确快速建模方法研究

2021-12-22葛德徐飞林勇

机械工程师 2021年12期

葛德，徐飞，林勇

（无锡商业职业技术学院机电技术学院，江苏无锡 214153）

0 引言

齿轮传动是近代机器中最常见的一种机械传动，是传递机器动力和运动的一种主要形式。斜齿轮因其在传动中传动平稳、噪声小、承载能力高等特点而被广泛使用。CAD环节则是整个CAX流程的基础，对于形状复杂的斜齿轮精确快速建模及后续方案修改，通过三维设计软件平台变量与参数的混合建模可轻松实现，大幅缩短产品设计周期。本文在对斜齿轮深入研究基础上，指出一种现有建模方法上的错误思路，并提出一种基于MATLAB和CATIA多平台环境下的斜齿轮快速精确建模方法。

1 渐开线齿轮的形成原理

1.1 齿轮渐开线的形成原理

如图1所示，当一条直线MN沿半径为rb的圆周作纯滚动时，其直线上任意一点M的轨迹PM就是该圆的渐开线。在直角坐标系下，动点M轨迹方程为：

图1 渐开线生成原理

式中：θ为渐开线发生线的滚动角，θ=θk+αk；θk为渐开线展角；αk为渐开线压力角。

1.2 斜齿轮齿面的形成原理

图2所示为斜齿齿轮形成原理图，由图可知，当发生面BB″T′t沿半径为rb的基圆柱作纯滚动时，发生面上直线BB′所展出的渐开面BB″A′A为直齿轮齿廓曲面。斜齿轮齿廓曲面的形成与直齿轮类似，只是发生面上的直线与轴线不再平行，而是与基圆柱轴线成一角度βb，即斜直线BB″的运动所展出的曲面BB″A″A为斜齿轮的齿廓曲面。渐开曲面BB″A″A与基圆柱的交线AA″是一条螺旋线，螺旋角为βb，故斜齿轮的齿廓曲面为渐开螺旋面。

图2 斜齿齿轮面形成原理

2 基于CATIA建模分析

2.1 建模方法分析

国内部分学者基于CATIA进行渐开线斜齿轮参数化建模时，一般是以直齿轮齿廓为基础，按照螺旋角β进行三维拉伸，在CATIA中建立基本参数连接相关公式绘制若干点对应坐标[1-3]。其中在β的定义过程中有两种思路：一是以建立螺旋线参数方程生成螺旋曲线为路径，进而完成斜齿轮实体建模；二是以按照螺旋角β定义通过投影获得所需螺旋角，生成实体建模。在此过程中主要存在以下几点问题：

1）在CATIA中，由于渐开线是以样条曲线联接参数方程生成若干关键控制点所形成，点数数量有限且绘制不精确，样条曲线与理论廓线差距较大，齿廓精度无法保证，最终影响数值模拟分析。这也是困扰广大科研工作者的一大核心问题。

2）轮齿齿廓渐开线展角θk没有固定值，通常选取θk>>[θa]（轮齿齿廓展角），以避免在更改齿轮参数时，因渐开线长度不够而出现错误。在θk取值一定的情况下，所绘制渐开线精度与控制点数成正相关，精度越高所需点数越多，生成数据也就越庞大。

3）在进行实体成形时，有相关技术人员采用的参考β以投影方法，将一平面上的与齿轮轴线夹角成β斜线投影到分度圆圆柱面，这并非按照斜齿轮螺旋角β的定义——展开（纯滚动）进行，最终齿轮的螺旋角β′≠β，而应通过建立以螺旋线参数方程生成螺旋曲线做为螺旋角β。

基于上述问题分析，在CATIA进行斜齿轮参数化建模时，轮齿齿廓会产生多元偏差，在进行有限元仿真分析时，会产生较大误差。

2.2 改进方案

利用MATLAB GUI进行渐开线齿廓的绘制并生成可控关键点，通过宏运算将可控关键点导入CATIA，进而在CATIA中完成三维实体建模。该方案有如下优势：

1）渐开线绘制的高效性。通过程序编译自动生成渐开线关键点及相应坐标，利用宏运算将点云数据批量导入CATIA环境中，免去在CATIA中手动输入并编辑点的工作，同时保证了渐开线的精度。

2）轮齿齿廓最大展角θk具有自适应性。在生成渐开线的程序中通过设置方程约束，确定了θk边界条件，生成的渐开线即为有效渐开线，且轮齿齿廓展角θa会随齿轮参数更改而自行更新，实现了渐开线的精确自动绘制，生成的数据简洁有效。

3）螺旋角β具有较高的可靠性。进行肋特征的参考β按照螺旋角的定义，通过展开特征获得，并非通过投影获得（具体内容见下文），这就保证了齿轮螺旋角β的正确性。

3 渐开线斜齿轮参数化建模实例

现以某新型汽车变速箱行星齿轮为例，基于MATLAB进行交互界面程序开发，在CATIA环境下进行斜齿轮的参数化建模，相关参数指标如表1所示。

表1 某新型汽车变速箱行星轮部分参数

3.1 渐开线展角θk边界条件

由图1及渐开线方程可知，渐开线在向径为rk处的展角θk为

由图3可知，在标准渐开线齿廓当中，齿顶圆与渐开线有且仅有一交点k，OK为标准齿轮齿廓渐开线最大向径rk，由几何关系知：

图3 齿轮齿廓渐开线曲线

式中：α为标准渐开线齿轮压力角，取定值20°；z为标准渐开线齿轮齿数；[θa]max为最大齿廓展角。

式（3）表明：渐开线标准齿廓展角θa大小仅与齿数z有关，与模数m无关，因此标准齿轮齿廓渐开线展角θk的边界条件为[0,θa]。

3.2 基于MATLAB GUI及CATIA联合建模过程

本文利用MATLAB 开发渐开线曲线设计平台，通过输入相关参数，生成渐开线曲线图形，最后导出点云数据。所开发的软件界面如图4所示。

图4 标准齿轮渐开线曲线参数化设计平台界面

程序主窗口包含方程显示区、参变量输入区、图像显示区、命令区。预设参变量缺省值为0，通过更改控制取样点数可以达到控制渐开线精度的目的。以行星齿轮为例，通过输入表1中相关参数，生成的曲线为二维曲线，在保存点云数据时，软件会自动填补曲线第三维坐标为0。将保存的三维点云坐标通过宏运算将点云数据批量导入CATIA环境中，生成渐开线曲线如图5所示，图中所示取样点数为100。在CATIA环境下生成一个带参标准渐开线齿轮的端面几何图形，如图6所示。

图5 基于MATLAB GUI与CATIA GSD环境下实现渐开线绘制

图6 全齿端面几何图形

3.3 螺旋角β的分析与绘制

通常在CATIA中进行三维特征创建时，所采用的螺旋角β为投影方法得到，而应用此方法所得到的螺旋角β已不是斜齿轮所用的螺旋角β，即采用投影法绘制的图形是错误的。

在一般情形下，已知基圆半径rb，渐开线上K点处坐标（Kx，Ky）（Kx≠0），建立一般情况下的直角坐标系如图7（假设图示点均位于第一象限）所示。

图7 渐开线通用坐标系

设M、B、A 三点坐标分别为（Mx，My）、（Bx，By）、（Ax，Ay），则有：

如图8所示，已知rb=10 mm，K点坐标为(4,11)，按照式（4）～式（6），得M、B、A三点坐标分别为M（3.417 436,9.397 934）、B（7.803 677,6.253 208）、A（2.830 540,9.591 037），通过验证，上述推理完全正确，即论证了投影与展开的区别。图9为采用展开方法建立的齿轮数模。