Zakharov VE

1 正则变量

考虑均匀重力场中无限深理想流体的有势流动, 选择如下坐标系:xy平面与未受扰动的流体表面重合, 而z轴则沿着远离该平面的方向. 在下文中, 所有矢量均为xy平面中的二维矢量.

记η(r,t)为 流体表面的波形函数,Φ(r,z,t)为速度势函数. 流体的流动可用Laplace方程描述

在自由面上满足两个条件

以及在无穷远处有条件

式中g为重力加速度,α为表面张力系数.

方程(1.1) ~ (1.3)满足流体的总能量守恒

式中, 等号右边第一项为动能, 第二项为重力势能, 第三项为表面张力势能. 引入物理量Ψ(r,t)=Φ(z=η(r,t),r,t). 由于拉普拉斯方程的边值问题有唯一解, 因此只需要两个物理量η与Ψ即可以确定流体的流动. 考虑到

可得到

方程(1.2)和(1.5), 连同拉普拉斯方程, 等价于方程(1.1) ~ (1.3). 可以证明方程(1.1)和(1.5)可以写

式中E是能 量, 符号表示变分导数.

首先考虑关于Ψ的变分. 显然, 势能对Ψ的变分为0. 利用格林公式, 动能可改写成

式中 ds是 面积微元, 可以利用拉普拉斯方程边值问题的格林函数, 将法向导数∂Φ/∂n与Ψ联系起来

式中s和s1是 表面上的点. 格林函数G是 对称的, 即动能的变分有两项

根据式(1.7)和格林函数的对称性, 可以发现这两项是相等的

由此立即得到式(1.2).

现在考虑对η的变分 (这个简单的证明由Garipov R M给出) .

对势能做变分立即给出式(1.5)①译者注: 原文为式(2.5), 应为式(1.5).的左侧项. 动能的变分给出

式中,δΦ为 边界的改变而引起的变分. 由于Φ满足拉普拉斯方程, 可以对第二个积分使用格林定理

最后我们有

于是得到式(1.5).

因此, 方程(1.2)和方程(1.5)是哈密……