曹成成, 黄文韬

(1.桂林电子科技大学 数学与计算科学学院,广西 桂林 541004;2.广西师范大学 数学与统计学院,广西 桂林 541004)

随着科技的发展,物理、化学等领域的许多模型需要分片光滑系统来描述。因此,对这类系统的研究具有重要的理论意义和应用价值。分片光滑系统经常在自动控制、力学及工程的不同领域中遇到[1-11]。文献[12]考虑了一个二次Bautin分片光滑系统,得到在系统原点的充分小邻域内有10个小振幅极限环的结果。文献[13]改进计算Lyapunov常数及周期常数的方法,并证明在三次分片光滑系统中至少有15个极限环。文献[14]研究了一个四次分片光滑系统,得到在系统双同宿环附近有11个极限环。文献[15]首次研究三次分片光滑系统临界周期分支问题,该系统在单一中心可分出5个临界周期分支。

文献[16]给出了广义Riccati系统的定义:

将上述系统扩展,考虑如下四次广义Riccati分片光滑系统:

研究系统原点的极限环与临界周期分支问题,并证明了该系统在原点邻域内有9个极限环和4个临界周期分支。

1 预备知识

考虑如下分片光滑系统:

分别为正向后继函数和负向后继函数。系统(2)的后继函数如图1所示。

图1 系统(2)的后继函数

其中,V k为分片光滑系统(1)在原点处第k个Lyapunov常数。

若V1=V2=…=V k=0,V k+1≠0,则称系统(2)的原点为k/2阶细焦点;若k=0,则称原点为粗焦点;对于任意的k,都有V k=0,则原点就称作中心。

文献[13]给出了一种计算Lyapunov常数的方法,文献[13]、[17]、[18]给出了判定系统原点是中心的几个判据。

引理1[13]系统(2)原点成为中心的充要条件……