司骥跃，庞兆君，付 杰，杜忠华

(1. 南京理工大学机械工程学院, 南京 210094; 2. 北京机械设备研究所, 北京, 100854; 3. 上海航天控制技术研究所, 上海 201109)

0 引 言

自1957年第一颗人造卫星发射以来，日趋频繁的空间活动使得空间碎片的数量显著增加，严重威胁着国际空间站(ISS)等关键的空间设施的运行安全。研究表明，每年须主动清除5到10个空间碎片才能维持空间环境的长期稳定[1]。空间绳网系统是一种具有良好应用前景的空间碎片主动清除技术[2]，相比于传统的刚性捕获技术[3]，其具有远距离抓捕、轻质灵活和费效比高等优势[4]。

搭载空间绳网系统的母平台通过发射柔性绳网对空间碎片进行可靠包裹，并通过平台与绳网之间的拖曳绳将空间碎片拖至坟墓轨道或大气层内烧毁。从早期“ROGER”项目对于空间绳网系统的方案设计及任务规划[5]，到2012-2017年期间的抛物线飞行试验[6]、真空展开试验[7]、地面展开试验[8]和绳网收口试验[9]，再到2018年9月英国萨里大学首次在轨完成空间绳网抓捕试验[10]，空间绳网捕获技术的可行性得到了较好的验证。

空间绳网的理论研究主要集中在绳网动力学建模方法、绳网展开动力学和绳网碰撞动力学等方面。弹簧质点法[11]和绝对节点坐标法[12]是主要的绳网动力学建模方法，两者各有优劣[13]。绳网展开动力学方面主要关注绳网发射参数，如发射速度、发射角度等对于绳网展开性能的影响[14-16]。同时一些学者也从发射模式、绳网构型等方面入手，开展了空间绳网高效展开方法方面的研究[17-18]。绳网的碰撞动力学建模方法主要有罚函数法[19]和冲量法[20-21]，其中罚函数法应用较为广泛。捕获阶段的研究主要集中在对具有规则外形、不规则外形目标的抓捕过程仿真，以及目标静止或旋转时的抓捕过程[22-23]。空间绳网的自碰撞算法也被提出，并用于抓捕后绳网缠绕现象的研究[24]。

现有文献中，关于绳网捕获性能及其影响因素的研究较少。Endo等[25]研究了发射平台与抓捕目标之间存在位置偏移时的抓捕过程，给出了特定工况下绳网抓捕可接受的位置偏移量，但是没有考虑抓捕过程中绳网与目标之间的摩擦力。Salvi等[22]研究了发射速度、发射角度等发射参数不对称对绳网展开性能的影响，但是研究仅关注了绳网的展开阶段，没有涉及绳网与目标接触碰撞过程。另一方面，现阶段研究一般认为绳网展开率超过80%时能抓捕成功[14-15,26]。虽然这一标准在衡量绳网展开、抓捕性能方面提供了统一的衡量标准，但是缺少理论或仿真支持。

本文以绳网边长为度量确定了抓捕目标的极限包络，并定义了理想和非理想工况下的绳网成功抓捕的判据。针对理想抓捕工况，确定了绳网可以成功抓捕的展开率范围；针对非理想工况，分别研究了存在发射速度误差、发射不同步和抽出阻力差异时的容许误差范围，并在抓捕过程中考虑了绳网与目标间的摩擦力。

1 绳网动力学模型

1.1 绳网建模方法

使用弹簧质点模型对网格为正方形的四边形绳网进行建模，绳网网角依次连接四个牵引体。将绳网物理节点视为集中质量，节点间的绳段视为弹簧和阻尼器并联的无质量单元，绳网的构型及离散方法如图1所示，绳网中心位于坐标原点处。

图1 绳网构型Fig.1 Configuration of the tether-net

质点i的动力学方程为：

(1)

式中:mi为质点i的等效质量，根据质点在绳网内的位置分布有如下定义：

(2)

Fext,i=Fn·en+Ft·et

(3)

式中:Fn是法向接触力;Ft是切向接触力;en和et分别是是法向接触力和切向接触力的方向向量。Fint,i是相邻绳段传递给质点的内力，表示如下：

(4)

当绳段端点距离大于绳段原始长度时，绳段中产生拉力;当绳段端点距离小于绳段原始长度时绳段内张力为零。因此在以i、j为端点的绳段中，i点所受张力如下：

(5)

式中:lij是绳段的真实长度;l0是绳段的原始长度;eij是从i指向j的单位向量;vij是质点i与质点j的相对速度;刚度系数kij和阻尼系数dij表示如下：

(6)

E和ζ分别是绳网选用材料的杨氏模量和阻尼比;A是网绳的横截面积。

1.2 碰撞动力学模型

绳网碰撞动力学建模的核心问题是碰撞检测及碰撞响应。碰撞检测分析在仿真中的每一步都会进行，用来判断检测目标之间是否有碰撞发生，也为碰撞响应的计算提供了依据。本文算例中目标包络为圆球形，绳网与目标之间的碰撞检测可以通过判断绳网节点中心与圆球中心的距离实现。如图2所示，当目标与节点之间出现穿透时，则节点与目标发生碰撞。记δ为碰撞穿透量，则判定碰撞发生的依据如下：

δ=(Ri+Robj)-|xi-xobj|>0

(7)

其中:Ri和Robj分别是节点i和目标的半径;xi和xobj分别是当前时刻绳网节点i与目标的位置矢量。

图2 碰撞检测及穿透量定义Fig.2 Collision detection and definition of penetration

碰撞响应主要有冲量法和罚函数法两类。冲量法计算效率较高但是无法计算碰撞过程中的接触力，碰撞速度也不连续。而罚函数法可以得到碰撞过程中碰撞力的时间变化历程，同时这种方法适用于涉及多体接触的复杂接触场景，但是为了防止出现过大的接触力，数值仿真中步长必须设置的足够小。本文采用罚函数法中的非线性阻尼模型[27]建立绳网与目标的碰撞模型。发生碰撞时，法向接触力取为：

(8)

(9)

式中:r为与几何构型有关的等效半径;ν和E分别是碰撞体的泊松比和杨氏模量;α是与恢复系数有关的经验参数。

绳网与目标之间还存在切向接触力，即摩擦力。根据库仑定律，动摩擦与法向接触力成正比，引入库伦摩擦系数μd。并引入切向速度阈值vs作为动静摩擦的判定依据，当绳网与目标的切向速度模量vt大于等于vs时认为两者之间为动摩擦，反之为静摩擦。因此切向接触力可以表示为[19,29]：

(10)

实验证明当vs取值在10-4到10-6m/s之间时，能够在计算效率和求解精度之间达到较好的平衡[30]。

2 理想工况下绳网捕获性能分析

2.1 绳网可抓捕目标的极限尺寸

本文研究边长为L的具有正方形网格的四边形绳网，首先根据绳网尺寸确定理想工况下可以抓捕的目标尺寸范围。绳网的镂空结构使得其具有轻便的质量，而其较大的外形尺寸使绳网相比刚性抓捕具备更大的抓捕容错率。抓捕目标的最小尺寸应不小于绳网的网目大小，以防止捕获后目标从绳网网孔内脱离。因此定义绳网网目边长不大于目标包络圆的内接正方体边长。绳网还应确保将目标完全包裹，故绳网的边长应不小于目标包络圆的周长。综上，绳网可抓捕的最小目标半径为：

(11)

可抓捕的最大目标半径为：

(12)

其中:L为绳网边长;l为网目边长。绳网及其可抓捕目标的对比图如图3所示。

图3 空间绳网可抓捕目标的极限尺寸Fig.3 Limit size of the target

2.2 成功捕获判据

相比绳网展开阶段，绳网的抓捕过程更为复杂，因此首先对抓捕条件进行合理假设和简化：抓捕过程中不考虑牵引体的外形，将其作为质点处理；绳网关于网体中心完全对称；目标的长径比接近1。对长径比进行限定主要有两点原因：一方面，长径比较大时目标呈现细长形状，其包络圆的尺寸可能较大,但是仍有可能在捕获过程中从网目中逃脱；另一方面若目标外形为细杆状或太阳帆等平板状结构，其与绳网的接触作用过程可能异于本文的研究目标。

理想工况是指绳网及其发射系统具有较好的对称性及一致性，且绳网中心和目标中心的连线与绳网飞行方向重合。理想工况下的抓捕过程为：绳网网体首先与目标接触，牵引体继续飞行直到达到极限位置后回弹并带动网角对目标形成包裹的趋势。随后依靠绳网的自缠绕或通过收口机构对目标形成可靠包裹。根据这一过程将理想工况下绳网成功抓捕的判据定义为：每个牵引体到达的极限位置均超过目标的包络上限，且这一过程中牵引体与目标不应发生碰撞，以防止产生新的碎片。包络上限定义为目标包络远离发射点的一侧，包络下限相反，如图4所示。

图4 绳网抓捕阈值定义Fig.4 Definition of capture threshold value of tether-net

绳网的展开面积Sdep一般定义为绳网4个网角所围成四边形的面积，绳网的展开面积与设计面积Sori的比值为展开率。在以往的绳网展开性能研究中，一般认为绳网展开率超过80%时，绳网可以抓捕成功。这一抓捕阈值为不同的展开性能研究提供了相同的衡量标准，但是实际抓捕过程中，80%的设定并没有明确的依据。因此使用上文定义的抓捕成功判据，对不同展开率下的绳网的抓捕性能进行研究。

绳网达到最大展开率时会发生回弹，其展开率先增大后减小，变化过程是一个单峰曲线。因此以最大展开率为界，将绳网展开率增大阶段可以成功抓捕的最小抓捕展开率称为第一阈值，并记为D1；将展开率减小阶段可以成功抓捕的最小抓捕展开率称为第二阈值，记为D2，如图4所示。理想工况下，只要绳网抓捕目标时的展开率处于D1及D2之间，绳网便能成功抓捕目标。且D1和D2越小可抓捕区间越大，抓捕性能越高。需要说明的是，在绳网展开率增大阶段，抓捕展开率为网角到达目标包络下限时的展开率；在绳网展开率减小阶段，抓捕展开率为绳网网体与目标接触时刻的展开率。下文将对抓捕极限阈值的确定进行讨论。

2.3 抓捕极限阈值的确定

首先讨论D1的确定，此过程绳网展开率由小变大。若绳网在此过程对目标进行抓捕，必然是牵引体首先越过目标包络下限，之后绳网与目标接触并对目标进行包裹。考虑到牵引体不能与目标发生碰撞，因此理想工况下牵引绳延伸线与目标包络相切，且绳网网角恰好到达目标下包络线时绳网的展开率即为D1。这一阶段绳网网角被牵引体逐渐抽出且呈现为束状，由于发射初期牵引体拖动的绳网质量较低，因此束状网角与绳网发射方向之间的角度可以认为与发射角相同。达到D1时绳网与目标的位置关系如图5所示。

图5 第一阈值确定示意Fig.5 Determination of D1

将目标半径记为Robj，发射角记为θ，处于对角位置的网角连线长度记为s。则此时绳网的展开率为：

(13)

根据图5可知：

(14)

因此，发射点O到目标中心Oobj的距离可以表示为：

(15)

可知

(16)

可得

(17)

取最恶劣的情况，即目标半径为最大，可将式(12)、式(13)和式(17)联立得：

(18)

通过式(18)可以发现绳网的第一阈值仅与发射角度有关，可以绘制出第一阈值与发射角度的关系，如图6所示。在给定的发射角变化范围内，随着发射角度的增加D1逐渐减小，D1的最大值不超过4.5%。说明理想工况下，绳网在回弹前的抓捕过程中具有较强的容错能力。

图6 D1与发射角度的关系Fig.6 Relationship betweenD1 and shooting angle

绳网达到最大展开率后中心回弹，展开率减小。此过程绳网形态与目标包络没有明确的几何关系，因此采用控制变量法研究不同工况下第二阈值D2与绳网发射参数之间的关系。影响绳网展开性能的发射参数主要有发射速度vb、发射角度θ和牵引体总质量与绳网质量的比值η，将三个参数设定一系列水平进行研究。其中发射速度和牵引体质量对绳网与目标接触时的动能和形态影响较大，记为一组进行控制变量研究。发射角度对绳网的展开时间和展开位移有影响，单独研究。仿真参数见表1及表2。

表1 仿真参数Table 1 Simulation parameters

表2 绳网的输入参数Table 2 Input parameters of tether-net

在给定发射参数后，根据2.2节中的定义“在绳网展开率减小阶段，抓捕展开率为绳网网体与目标接触时刻的展开率”，通过调整发射点与目标之间的距离调整抓捕展开率，通过一系列仿真得到的可以成功抓捕的最小抓捕展开率即为D2。目标包络半径按照式(12)取最大为1.59 m。首先保持发射角为40°绘制不同发射速度和质量系数下的D2，如图7所示。可以发现，发射速度对于D2的大小影响不大，而随着牵引体质量的增加D2逐渐减小。尽管提高牵引体质量可以减低D2，但是这种方法存在着较大的局限性。一方面提高牵引体质量会提升系统质量及发射难度，另一方面当质量系数超过7时，D2稳定在78%附近，抓捕性能提升效果不佳。

图7 D2的影响因素Fig.7 The influencing factors ofD2

保持发射速度为10 m/s，质量系数为3绘制发射角与D2的关系，如图8所示。可以看出随着发射角的增加D2逐渐增加，抓捕性能逐渐下降。在发射角超过50°后，D2稳定在95%附近。相比增加牵引体质量，降低发射角对于提升绳网回弹之后的抓捕性能效果更好。当发射角为20°时，D2的值仅为38.2%。

图8 D2与发射角的关系Fig.8 Relationship betweenD2and shooting angle

通过推导和仿真得到了以展开率D1和D2为界的绳网可抓捕区间。D1和D2的值越小，则绳网的可抓捕区间越大，绳网的抓捕性能越好。D1仅与发射角θ负相关，较大的发射角可以获得较小的D1值。但是D1在各发射角下变化幅度很小。D2对于牵引体质量和发射角度较为敏感，较大的牵引体质量和较小的发射角可以获得较好的抓捕性能，同时提高牵引体质量弊端较多。综上，建议使用较小的发射角以获得最佳的抓捕区间。

3 非理想工况下绳网捕获性能分析

3.1 非理想工况设定

将抓捕时机设定为绳网展开率最大的时刻，抓捕目标选为最大可抓捕尺寸，对非理想工况下绳网捕获性能进行研究。绳网发射过程中可能出现不可控误差的情景主要有：1)由于动力源的推力误差所引起的发射速度不一致；2)由控制系统或击发系统误差引起的发射时间不同步；3)由于绳网折叠工艺引起的绳网抽出阻力差异。将这三种难以彻底排除的非理想工况作为研究对象，对绳网抓捕过程进行研究，得出保证捕获成功的误差边界。另外，还以存在发射速度误差为例，讨论了抓捕距离误差对抓捕性能的影响。

理想工况下成功抓捕的判据是：每个牵引体到达的极限位置均超过目标的包络上限，且这一过程中牵引体与目标不发生碰撞。而非理想工况下绳网中心与目标中心会出现偏移，绳网可能从目标表面滑过造成抓捕失效。因此在理想判据的前提下增加一项约束条件作为成功抓捕判据：出现误差的牵引体回落到目标包络上限内之前，绳网中心点在飞行方向(Z轴正向)不超过目标中心。将目标中心在Z轴的坐标记为zobj，将抓捕过程中绳网中心点在Z轴所到达到的距离最大值记为zcen。当zobj-zcen>0时绳网中心点在Z轴正向不超过目标中心，抓捕有效；当zobj-zcen<0时抓捕失败。

3.2 数值仿真

以发射速度为10 m/s，发射角度为40°，质量比为4作为基本输入，目标包络尺寸按照式(12)取最大。目标中心位于Z轴正方向12.28 m处，此距离下目标与绳网接触时绳网处于最大展开率。其他仿真条件见表1。根据不同的非理想工况，在基础工况上叠加误差并进行动力学仿真，最终得到绳网系统可接受的最大误差值。在本研究中针对不同的非理想工况设定了两个子工况，分别是单个牵引体出现误差、两个相邻牵引体出现误差。两个相邻牵引体出现误差时认为其误差值相同。下文中单个牵引体的误差施加在牵引体1上，相邻牵引体的误差施加在牵引体1和牵引体2上，牵引体编号方法如图1所示。另外，当处于对角位置的牵引体出现相同误差时绳网中心与目标中心不会出现位置偏移，因此这种工况在本文不作考虑。本节考虑摩擦，摩擦系数为0.2，切向速度阈值vs为1×10-4m/s。

首先对发射速度误差进行研究。根据仿真结果，以误差值为横坐标，以目标中心与绳网中心在Z轴的距离差值为纵轴绘图，如图9所示。可以发现当单个牵引体的发射速度低于其他牵引体时，绳网系统可接受的速度最大偏差为-3.15 m/s，此时牵引体1的发射速度为6.85 m/s。此误差下，各牵引体在发射方向的飞行距离如图10(a)所示，由于对称性牵引体2与牵引体4的飞行轨迹基本重合。4个牵引体在Z轴的飞行距离随时间而增加，4个牵引体具有相似的飞行轨迹，但是牵引体1由于发射速度较小，其飞行距离小于其他牵引体。绳网在约1.86 s时与目标发生碰撞并逐渐包裹目标，之后牵引体越过目标包络上限继续飞行，直到约3.82 s时达到极限位置开始回弹。此过程中每个牵引体到达的极限位置均超过目标的包络上限，且绳网中心点在Z轴的距离总是小于目标中心，因此抓捕有效。单个牵引体的发射速度高于其他牵引体时，绳网系统可接受的速度最大偏差为3.55 m/s，此时牵引体1的发射速度为13.55 m/s，各牵引体飞行轨迹如图10(b)所示。

图9 绳网可接受的发射速度误差范围Fig.9 The acceptable error of shooting velocity of tether-net

图10 单牵引体速度偏差下牵引体在Z轴的飞行距离Fig.10 The distance of single bullet in Z-axis under shooting velocity error

从图9中还可知，误差存在于相邻牵引体时绳网系统可接受的发射速度偏差范围为-2.31～2.94 m/s，偏差量明显低于单牵引体工况。牵引体1、2的发射速度误差为-2.31 m/s时牵引体的飞行轨迹如图11(a)，牵引体1、2的速度误差为2.94 m/s时轨迹如图11(b)所示。由于对称性，牵引体1与牵引体2的轨迹基本一致，牵引体3与牵引体4的轨迹基本一致。牵引体1、2回落到目标包络上限内之前，绳网中心点在Z轴正向不超过目标中心，抓捕有效。

图11 双牵引体速度偏差下牵引体在Z轴的飞行距离Fig.11 The distance of two bullets in Z-axis under shooting velocity error

接着对发射同步性误差进行研究，绘制了绳网可接受的发射同步性误差范围，如图12所示。单个牵引体存在发射同步性误差时，可接受的发射时间误差范围为-0.62～0.78 s。相邻牵引体存在发射同步性误差时，可接受的时间误差范围为-0.46～0.46 s。所研究绳网系统的发射同步性容错范围为百毫秒级别，具有较好的抓捕容错能力。

图12 绳网可接受的发射同步性误差范围Fig.12 The acceptable error of shooting synchronization of tether-net

发射同步性存在误差时，各牵引体飞行轨迹与图10、图11类似，因此不再赘述。图13绘制出了牵引体1延时发射0.62 s时绳网的抓捕历程。由于牵引体1延迟发射，2 s前其在发射方向的位移明显小于其他三个牵引体，但是得益于绳网良好的抓捕容错能力，2 s之后绳网逐渐包裹目标，并最终完成抓捕。

图13 发射同步性误差下绳网成功抓捕历程Fig.13 Capture sequence with shooting synchronization error

最后研究绳网抽出阻力不一致对于抓捕过程的影响。为了便于对比，认为理想情况下绳网对各牵引体造成的抽出阻力均为0 N。根据图14可知，若牵引体1所受抽出阻力大于其他牵引体时，此抽出阻力差值最大为1.41 N。相邻牵引体的抽出阻力存在误差时，最大的阻力差值为1.3 N。高庆玉等[31]对绳网抽出阻力的研究显示，绳网从网包抽出时可以将总的抽出阻力控制在5 N之内。若按照4个牵引体计算，则每个牵引体的平均抽出阻力为1.25 N，小于本研究得出的最大误差值，说明了空间绳网在抽出阻力差异方面具有较好的容错能力。表3总结了上述各工况下可接受的误差范围。

以上研究中目标被固定在绳网展开率最大处，目标的中心位置距离发射平台12.28 m。如果发射平台与目标之间的距离存在误差，则会放大发射误差对于捕获性能的影响。针对这一情况，以双牵引体存在发射速度误差为例，研究绳网可接受的抓捕距离误差范围。牵引体的速度误差参照表3取为2.5 m/s，则牵引体1、2的发射速度为12.5 m/s，牵引体3、4的发射速度为10 m/s。发射距离以12.28 m为基数，当发射距离小于12.28时记误差为负，大于时记误差为正。绘制了绳网可接受的发射距离误差范围，如图15所示。当发射距离误差小于-34.1%时，虽然由速度误差所造成的绳网中心偏移量还不大，但是此时绳网的展开率较小，对于发射误差较为敏感，并未满足捕获成功判据。当距离误差介于28.3%和85%之间时，出现误差的牵引体回落到目标包络上限内之前，绳网中心点在飞行方向超过了目标中心，判定为抓捕失败。当距离误差大于85%时，由于速度误差的累积，绳网中心与目标中心在飞行方向上已经存在了较大的偏移量，绳网与目标接触后直接从目标一侧滑过，造成脱靶。此工况下，绳网可接受的抓捕距离误差范围为-34.1%～60.7%，对于抓捕距离具有较好的容错范围。

图14 绳网可接受的抽出阻力误差范围Fig.14 The acceptable error of extraction force of tether-net

表3 绳网可接受的误差范围Table 3 Acceptable error range of tether-net

图15 绳网可接受的抓捕距离误差范围Fig.15 The acceptable error of capture distance of tether-net

4 结 论

本文重点关注了空间绳网的抓捕动力学模型，并对绳网的捕获性能进行了研究。使用弹簧质点法建立了绳网的动力学模型，基于非线性阻尼模型建立了绳网与目标的碰撞动力学模型，同时根据库伦定律在碰撞模型中记入了摩擦力。根据绳网边长确定了可抓捕目标的最大、最小包络。提出了理想工况和非理想工况下界定绳网抓捕成功的判据，并研究了发射速度误差、发射同步性、抽出阻力差异和抓捕距离误差对绳网抓捕性能的影响，给出了绳网系统可接受的误差边界。通过研究得出以下结论：理想工况下以展开率80%作为抓捕成功的界定标准过于严格，绳网的抓捕性能在回弹前与发射角有关，在回弹后与发射角和牵引体质量关系较大；相比增加牵引体质量，减小发射角对于提升绳网回弹之后的抓捕性能效果更好；非理想工况下发射速度误差、发射同步性和抽出阻力差异均会影响绳网的抓捕性能，两个牵引体出现误差时可接受的误差范围劣于单个牵引体；过大的抓捕距离误差也会造成捕获失败，特别是抓捕距离较大时，绳网有可能直接脱靶。