丰富多彩的三角板问题
2021-12-12薛金钰
薛金钰
利用三角板设计的中考题，难度不大，易于求解. 现举6例进行说明.
一、用一只三角板与直尺设计中考题
1.含45°角的三角板与直尺
例1（2021·四川·宜宾）一块含45°角的直角三角板和直尺如图1放置，若∠1 = 55°，则∠2的度数是（ ）.
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
解析：由∠1 = 55°，∠B = 45°，得∠AED = 100°.
由DE[⫽]FG，得∠AFG = 100°，由∠A = 45°，得∠2 = 35°.
也可过点C作CH[⫽]DE，由DE[⫽]FG，可知CH[⫽]FG，
再由∠ACB = 90°，利用平行线的性质可知∠1 + ∠CGM = 90°.
由∠1 = 55°，可得∠CGM = 35°，则∠2 = 35°. 故选B.
反思：本题解法很多，如：延长AC交直线ED于N，利用平行线的性质、对顶角的性质和三角形内角和定理求解;利用五边形内角和公式，求∠2的邻补角，进而得到∠2的度数.
2.含30°角的三角板与直尺
例2（2021·山东·泰安）如图2，直线m[⫽]n，三角板的直角顶点在直线m上，且三角板的直角被直线m平分. 若∠1 = 60°，则下列结论错误的是（ ）.
A. ∠2 = 75° B. ∠3 = 45° C. ∠4 = 105° D. ∠5 = 130°
解析：由三角板的直角被直线m平分，可知∠6 = ∠7 = 45°，
则∠4 = ∠1 + ∠6 = 60° + 45° = 105°.
由m[⫽]n，得∠3 = ∠7 = 45°，∠2 = 180° - ∠4 = 75°，
则∠5 = 180° - ∠3 = 180° - 45° = 135°. 故选D.
反思：也可由三角板的直角被直线m平分，得到∠6 = ∠7 = 45°，再由邻补角的定义得到∠5 = 135°，即可得到答案.
二、用一副三角板设计中考题
1.将一副三角板的两个锐角的边重合
例3（2021·湖南·岳阳）将一副直角三角板按如图3所示摆放，若直线a[⫽]b，则∠1的大小为（ ）.
A. 45° B. 60° C. 75° D. 105°
解析：由題意知，∠ABC = 45° + 60° = 105°.
由a[⫽]b，得∠1 + ∠ABC = 180°，
则∠1 = 180° - ∠ABC = 180° - 105° = 75°. 故选C.
反思：这里是将45°和60°的两个锐角在公共边的外部重合，如果在内部重合，又会得到怎样的试题？将45°和30°的两个锐角的公共边重合，又会得到怎样的试题？
2.使一副三角板的两条直角边平行
例4（2021·内蒙古·通辽）一副三角板如图4所示摆放，且AB[⫽]CD，则∠1的度数为 .
解析：由对顶角相等可知∠1 = ∠EOF，
而∠EOF + ∠E + ∠F = 180°，∠E = 60°，∠F = 45°，
因此∠1 = 180° - 60° - 45° = 75°.
反思：本题还有很多解法，请同学们思考并整理.
3.使一副三角板的两条斜边平行
例5（2021·湖北·宜昌）如图5，将一副三角板按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB = 90°，∠B = 60°，∠EFD = 90°，∠E = 45°，AB[⫽]DE，则∠AFD的度数是（ ）.
A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°
解析：由AB[⫽]DE，有∠AOD = ∠D = 45°.
由∠AOD = ∠AFD + ∠A，∠A = 30°，
得∠AFD = ∠AOD - ∠A = 45° - 30° = 15°. 故选A.
反思：∠CFE如何求？有哪些不同的方法？请同学们尝试求解.
4. 使一副三角板直角边与斜边平行
例6（2021·辽宁·抚顺）一副直角三角板如图6摆放，点[D]在[BC]的延长线上，EF[⫽]BC，[∠B=∠EDF=90°]，[∠A=30°]，[∠F=45°]，则∠[CED]的度数是（ ）.
A. [15°] B. [25°] C. [45°] D. [60°]
解析：由题意得[∠ACB=60°]，[∠DEF=45°].
由EF[⫽]BC，利用平行线性质可得出[∠CEF] = [∠ACB=60°]，
因此[∠CED=∠CEF-∠DEF] = 60° - 45° = 15°. 故选A.
反思：也可利用∠ACB = ∠[CED] + ∠CDE，[∠ACB=60°]，∠CDE = ∠DEF = 45°，从而得到答案.
其实，只要多思考，你也可以设计出新颖的试题. 长此以往，你也能成为命题专家！
1.一把直尺与一块直角三角板按如图7方式摆放，若∠1 = 47°，则∠2 = .
2.如图8，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如图摆放，设[∠1=30°]，那么[∠2=] .
（答案见第31页）
