季海波

（宿迁学院文理学院，江苏 宿迁 223800）

排队论是运筹学的一个重要分支，在研究排队论中的服务时间问题时，经常用到k阶Erlang分布，它和指数分布关系密切。假设一列随机变量X1,X2,X3,…,Xk独立同分布于指数分布E(λ)，则T=X1+X2+X3+…+Xk的密度函数为

称随机变量T服从参数为λ的k阶Erlang分布[1]，其中k∈Z+。

针对II型截尾试验，本文只研究k=2时的未知参数的Bayes估计。为了估计方便，令θ=2λ，则2阶Erlang分布的密度函数和分布函数分别为

在做可靠性寿命试验时，为了减小周期和试验成本，通常会通过截尾试验来实现，其中定数截尾和定时截尾是用得比较多的截尾寿命试验。对于这两类截尾情形下不同分布参数的Bayes估计，已经有了不少研究结果，现有大部分文献仅研究了双边定数截尾下的不同分布参数的估计[2-4]，暂时还没有II型双截尾情形下2阶Erlang分布参数的Bayes估计，故本文研究定数截尾中II型双截尾情形下的Bayes估计。

1 参数θ的极大似然估计（MLE）

假设II型双截尾试验中受试产品的寿命为T1,T2,T3,…，它们是相互独立且服从2阶Erlang分布的一列随机变量。从受试产品中随机抽取n个进行截尾试验，直到有r(1≤r≤n)个受试产品时停止试验，但是由于某些不可控因素导致前s-1个数据发生丢失，从而观测值为ts≤ts+1≤ts+2≤…≤tr(1≤s≤r≤n)。将观测值记作t=(ts,ts+1,ts+2,…,tr)，那么在此截尾试验下似然函数为

将式（1）（2）代入式（3）可得2阶Erlang分布对应的似然函数为

再将式（4）两边取对数，并关于参数θ求导，且令其为0，可得

式（4）只是关于未知参数θ的迭代式，无法通过样本值直接计算，在模拟计算时可以通过选取适当的初始值得到该参数的近似估计值，对应记作。

2 参数θ的Bayes估计

由式（4）显然有

由式（6）（7）可得参数θ的后验条件密度函数为

定理1在平方损失函数L(θ,δ)=(θ-δ)2下，若参数θ取广义先验分布时，则分布（1）中参数θ的Bayes估计为

证明由于在平方损失函数下θ的Bayes估计为θ̂BS=E(θ|t)，则

定理2在加权平方损失函数下，若参数θ取广义先验分布时，则分布（1）中参数θ的Bayes估计为

证明在加权平方损失函数[5]下θ的Bayes估计为，则

定理3在熵损失函数下，若参数θ取广义先验分布时，则分布（1）中参数θ的Bayes估计为

证明在熵损失函数[4]下θ的Bayes估计为，则由式（9）可得

定理4在Linex损失函数L(θ,δ)=ec(δ-θ)-c(δ-θ)-1(c∈R,c≠0)下，若参数θ取广义先验分布时，则分布（1）中参数θ的Bayes估计为

证明在Linex损失函数[1]下θ的Bayes估计为，则

3 随机模拟及结论

综上所述，基于II型双截尾，得到了在4种不同损失下未知参数θ的Bayes估计表达式。下面利用Monte-Carlo方法进行模拟，取真值θ=2，模拟算法[6]的具体步骤如下。

Step1利用Matlab软件随机产生n个服从（0,1）均匀分布的随机数u1,u2,u3,…,un。

Step2利用逆变换tiln(1+θti)=-θ-1ln(1-ui)及真值产生n个服从2阶Eralng分布的随机数t1,t2,t3,…,tn。

Step3给定s、r的值得到对应的双截尾样本(ts,ts+1,ts+2,…,tr)，计算每个损失下的Bayes估计。

实验随机模拟1 500次，各种估计的具体均值及均方误差见表1。

表1 不同损失下参数θ的Bayes估计模拟值（c=1）

模拟结果表明，无论是均值，还是对应的均方误差，Bayes估计明显比极大似然估计优越，且Bayes估计中熵损失和Linex损失下的估计较另外两种损失下的估计更优。同一估计会随着样本量的增加，均值越来越靠近真值，所以利用Bayes方法进行估计时，应该合理选择损失函数和增加样本量，以提高估计的准确度。

k阶Erlang分布作为排队论中常用的服务时间分布，受到广泛关注。本文利用II型双截尾试验讨论了该分布参数的估计问题。利用Bayes方法将不同的损失函数下的参数估计与其真值进行比较，体现了Bayes方法的灵活性与优良性。数据模拟结果表明，本文使用的估计方法是有效的。