【摘 要】2021年高考全国甲卷物理压轴题25题以传统知识——带电粒子在磁场中的运动的创新情景，考查了学生多方面的素养，此题涉及物理和数学多个知识点，综合性强。本文从命题意图、试题解析等方面对该题进行详细分析，针对不同学生数理水平，比较多种方法，巧用数学方法与竞赛方法来解决，并提出几点教学思考。

【关键词】带电粒子;数理水平;高考物理

【中图分类号】G633.7  【文献标识码】A  【文章编号】1671-8437（2021）28-0058-03

带电粒子在磁场中运动问题，能够很好地考查学生的数理能力，是历年高考的重点。2021年全国甲卷高考物理第25题第3问就考查了这一知识点，数理水平较好的学生一般都是采用画出实际运动轨迹，找圆心，求半径的传统方法求解此题。数理水平更高的学生还可以通过圆方程等几何方法求解此题，而物理竞赛生还可以利用正则动量方法解决此题。接下来笔者对该题作简要分析与讨论，希望能抛砖引玉。

1   原题赏析

如图1，长度均为l的两块挡板竖直相对放置，间距也为l，两挡板上边缘P和M处于同一水平线上，在该水平线的上方区域有方向竖直向下的匀强电场，电场强度大小为E;两挡板间有垂直纸面向外、磁感应强度大小可调节的匀强磁场。一质量为m，电荷量为q（q>0）的粒子自电场中某处以大小为v0的速度水平向右发射，恰好从P点处射入磁场，从两挡板下边缘Q和N之间射出磁场，运动过程中粒子未与挡板碰撞。已知粒子射入磁场时的速度方向与PQ的夹角为60°，不计重力。

（1）求粒子发射位置到P点的距离;

（2）求磁感应强度大小的取值范围;

（3）若粒子正好从QN的中点射出磁场，求粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离。

解析：（1）（2）略。

（3）命题意图：此问是带电粒子在有界磁场中的压轴问题，要求学生具备动手画图能力，能借助几何关系解决问题。本问渗透了较多的数学知识，需要学生具备扎实的数学基础，由于本问数学计算量较大，同时也考验了学生的数学计算能力。

2   不同解法的比较

2.1  解法1

数理水平较好的学生一般都是采用画出实际运动轨迹，找圆心，求半径的传统方法求解此问。

若粒子正好从QN的中点K射出磁场时，带电粒子运动轨迹如图2所示。

设粒子的运动半径为r，由几何关系可知

带电粒子的运动半径由正弦定理可得

联立（1）（2）可得r=    （3）

粒子在磁场中的轨迹与挡板MN的最近距离

由（3）（4）式解得。

2.2  解法2

数理水平更高的学生还可以利用平面几何知识，求出圆心坐标，然后利用两点坐标公式求出半径，得到最小距离d。若粒子正好从QN的中点K射出磁场时，以Q点为坐标原点建立如图3平面直角坐标系。其中P（0，l），

K（，0），设粒子圆心坐标为O（x0，y0），由几何关

联立（1）（2）可得粒子圆的圆心坐标：

又根据两点坐标公式可得：r=OP=l，

又根据几何关系可得：

2.3   解法3

利用圆的参数方程x=a+rcos θ可以求解最小距离d。写出圆上的点对应参数方程坐标，将距离转化为圆上的点横坐标x=xMN的差值，利用三角函数求最值。

若粒子正好从QN的中点K射出磁场时，以Q点为坐标原点建立如图3平面直角坐标系。其中P（0，l），K

（，0），设粒子圆心坐标为O（x0，y0），由几何关系得：

联立（1）（2）可得粒子圆的圆心坐标：

又根据两点坐标公式可得：

∵ p为粒子运动轨迹上的一点

（当且仅当cos θ=1时取得）

第3种方法与第2种方法差别不大，只是在求最值时将第2种解法中的几何分析转化为利用三角函数求最值，思维量变得更小了。

2.4  解法4

物理竞赛生还可以利用正则动量方法避开复杂的轨迹作图和数学运算解决此问。

正则动量：粒子在匀强磁场中，如果仅受洛伦兹力作用，则有：。

可将洛伦兹力和速度分解到直角坐标系中，建立分量关系，由式（1）可得分量式为：

对式（2），式（3）分别积分可得：

由式（4）和式（5）表明，粒子的竖直位移将决定其水平速度的变化，粒子的水平位移将决定其竖直速度的变化。

本题中，设粒子运动到K点时，水平、竖直方向上的速度分别为vx、vy，粒子圆的半径为r，磁感应强度为B。由正则动量法得：

联立（6）（7）（8）（9）可得粒子圆的半径

当粒子运动到离MN最近时，vx=0，vy=

3   教学思考与启示

3.1   重视新高考的评价体系对物理命题的指导要求

教育部考试中心发布的《中国高考评价体系》提出了“一核四层四翼”的高考评价体系，涵盖了考查目的、考查内容和考查要求。“一核”为考查目的，即“立德树人、服务选才、引导教学”，是对素质教育中高考核心功能的概括，回答了“为什么考”的问题;“四层”为考查内容，即“必备知识、关键能力、学科素养、核心价值”，是素质教育目标在高考内容中的提炼，回答了“考什么”的问题;“四翼”为考查要求，即“基础性、综合性、应用性、创新性”，是素质教育的评价维度在高考中的体现，回答了“怎么考”的问题[1]。

高考评价体系的“一核”“四层”“四翼”与以往考试大纲相比，具有以下鲜明特色：一是全新的评价理念;二是独立的学科化操作;三是标准化测评。如在“四翼”考查要求中明确体现了综合性，主要考查学生综合运用不同学科知识、思想方法，多角度观察、思考，发现、分析和解决问题的能力。2021年全国甲卷高考物理第25题第3问恰好诠释了“四翼”考查要求中的综合性，即数学思想方法与物理学科素养的有机结合。

3.2  重视数学知识的应用

高考物理的考查离不开数学知识和方法的应用，物理中的数学方法是物理思维与数学思维高度融合的产物。对此，教师在平时的物理教学中要从以下几个方面入手：一是加强对学生基本的数学运算能力的培养;二是加强对学生从物理图中获取数学信息的能力的培养与训练;三是加强对几何知识、参数方程等数学知识的应用;四是在力、电磁学问题中加强对三角函数、二次函数、均值不等式、导数等数学方法的应用。

3.3  重视培养学生的发散思维能力

高考“四翼”明确要求学生能够综合运用不同学科知识、思想方法，多角度观察、思考，发现、分析和解决问题。所以在平时物理训练中，学生不应仅仅满足于把题解出来，还应该在把题解出来的基础上继续深入思考还有没有其他解决方法。教师在复习教学中要特别注意了解学生的实际情况，因材施教，充分发挥学生的主观能动性，利用“一题多思”“一题多变”“一题多解”“一题多联”“多题一归”的思路让学生概括出物理的基本思想和基本方法，做到举一反三，触类旁通。教師要主动培养学生的发散思维能力，让学生克服定势思维，不搞“题海战术”，不做偏题、怪题，培养学生灵活应用所学知识的能力。

【参考文献】

[1]教育部考试中心.中国高考评价体系[M].北京：人民教育出版社，2019.

【作者简介】

袁海轮（1984～），男，侗族，贵州凯里人，本科，中学一级教师。研究方向：高中物理竞赛研究。