张 毅 田 雪 翟相华 宋传静

* (苏州科技大学土木工程学院,江苏苏州 215011)

† (南京理工大学理学院,南京 210094)

** (苏州科技大学数学科学学院,江苏苏州 215009)

引言

力学系统的对称性与守恒律密切相关.通过研究对称性而探索或发现复杂力学系统的守恒律,这是分析力学研究的一个重要方面[1-2].Lie 对称性[3-9]、Noether 对称性[10-20]和Mei 对称性[21-28]是3 种概念不同的对称性方法.利用对称性和守恒律,可以简化动力学问题甚至求解力学系统的精确解,从而更好地理解其动力学行为.微分方程的Lie 理论最早由Lutzky[29]引入力学系统,所得守恒量是Noether 型的.Hojman[30]由Lie 对称性直接导出一类不属于Noether 型的守恒量,称之为Hojman 守恒量[21].Hilger[31]于1990 年提出了测度链上的分析理论,而时间尺度作为测度链的特殊情形备受关注[32-34].时间尺度分析不仅是连续分析和离散分析的统一,而且是经典微积分对任意时间尺度的拓广.Bartosiewicz和Torres[35]首先开展时间尺度上Noether 对称性的研究,此后关于时间尺度上Noether 定理及其证明的探讨至今仍方兴未艾[36-42].但是,时间尺度上Lie 对称性直到最近才有一些初步的研究且所得守恒量均为Noether 型的[43-46].鉴于此,本文将研究并给出由时间尺度上Lie 对称性直接导出的非Noether 型的新型守恒量.

1 时间尺度微积分

为方便读者,这里对时间尺度微积分做一简单介绍,详见文献[32-33].

设 T 是一个时间尺度,即实数集 R 的任意非空闭子集,如实数集 R、整数集Z、非负整数集N0或[1,3]∪N .前跳算子σ (t)=inf{s∈T:s＞t} 和后跳算子 ρ (t)=sup{s∈T:s＜t} 是关于时间尺度的两个重要的量.若 σ (t)=t,称点t∈T 右稠密,σ (t)＞t则右发散;若……