丁 聪，丁根宏

(河海大学 理学院,江苏 南京 211100)

0 引言

本文主要研究5维三次-五次非线性薛定谔方程：

iut+Δu=|u|2u+ε|u|4u

(1)

其中u:R5×R→C,ε=1.非线性薛定谔方程是量子力学和非线性光学中的重要模型，主要用于模拟波色-爱因斯坦凝聚和电磁波在非线性介质中的传播.方程(1)有两个重要的守恒量.

质量为:

(2)

能量为:

(3)

过去三十年中，人们从理论和数值上对非线性薛定谔方程的解做了大量的研究工作.其中理论上，主要研究工作围绕非线性薛定谔方程的长时间行为，其中包括J.Bourgain[1]，J.Colliander[2]，C.E.Kenig 和 F.Merle[3,4]等.另一方面，在非线性薛定谔方程的数值模拟上，很多专家做了重要的研究工作，例如Q S Chang等[5]对于三种非线性薛定谔方程模型，给出了八种差分格式并比较了它们的优缺点，T R Taha等[6]采用有限差分法和有限傅里叶变化法近似非线性薛定谔方程，比较了各种方法的优缺点，为后续研究非线性薛定谔方程解的行为提供了参考.继差分法后，有限元法和谱方法也相继被用于薛定谔方程解的行为分析中[7,8]，但这些方法无法运用于高维非径向方程解的行为分析中.近年来，采用深度学习的方法求解偏微分方程的解，尤其对于高维偏微分方程求解的应用引起广泛关注[9].

本文主要采用有限差分等数值方法研究5维三次-五次非线性薛定谔方程(1)在径向情形下解的Sobolev范数H2的有界性.此方程是2维三次-五次非线性薛定谔方程在高维的非聚焦形式，参看Cheng X[10]关于2维情形的重要研究工作.对于有界临界范数假设，在3维三……