衣抚生

（河北经贸大学发票博物馆，河北 石家庄 050061）

本文想要探讨的问题是：在秦汉时期，普通受教育者的数学水平是什么样的？岳麓秦简《数》、张家山汉简《算数书》、清华简《算表》、北大简《算数书》等出土数学文献，是否反映了普通受教育者的数学水平？本文讨论的普通受教育者，是指受过基础教育的人，并非文盲，也并非专业研习数学的学者。考虑到秦汉时期受教育者的比例不会很高，本文所指普通受教育者，在人口中的比例也不会很高，但却会是所有受教育者中的大多数。

一、秦汉时期普通受教育者的数学知识推测

学校教育，是普通受教育者获得数学知识的最重要的途径，可以在很大程度上体现大多数普通受教育者的数学水平。因此，要解答这个问题，首先需要了解秦汉普通受教育者的数学教育。

（一）西汉中后期到东汉的数学教育 研究汉代教育史的学者们普遍注意到，《四民月令》对汉代普通受教育者所学知识有较为详细的介绍，其文为：

（正月）农事未起，命成童（本注：谓十五以上至二十）以上入大学，学五经；师法求备，勿读书传。研冻释，命幼童（本注：谓十岁以上至十四）入小学，学篇章（本注：谓《六甲》、《九九》、《急就》、《三仓》之属）。[1](P9)

（八月）暑小退，命幼童入小学，如正月焉。[1](P60)

（十月）农事毕，命成童以上入大学，如正月焉。[1](P68)

（十一月）研水冻，命幼童读《孝经》、《论语》、篇章、小学。[1](P71)

从中可以看出，当时的教育分为“大学”和“小学”两种。“大学”学的是五经，“小学”学的是《六甲》、《九九》、《急就篇》、《三仓》、《论语》、《孝经》等。从这段记载中，可见普通受教育者在10到14岁的“小学”期间，集中学数学，所学内容主要为《九九》。

九九是先秦秦汉时期较为常见的概念，又称九九数、九九之数、九九之术、九九歌等，即今日的九九乘法表（顺序与今日的九九乘法表相反，且缺少跟1有关的9条）。由于乘法是以加法为基础的，因而学会九九的人，应该也会简单的整数四则运算。九九在当时有两个特征：基础，重要。先说九九的基础地位。《韩诗外传》、《说苑》等文献都曾记载，齐桓公曾经广泛招募人才，齐国有一位“东野”边鄙之人，以九九求见。“东野”一词，值得注意。齐国西边与鲁国接壤，中间为首都，均属于经济、文化较为发达的地区，唯有东部较为落后。这应该就是古人喜欢用“东野”、“齐东野语”之类的词，来形容粗俗之人的原因。所以，这位“东野”边鄙之人，实际上代表了齐国落后地区的小有知识之人，所学较为浅薄。齐桓公当然知道这一点，直接指出九九是非常基础的知识，不足以被接见，边鄙之人也自认为“夫九九，薄能耳”。[2]（P100-101）[3]（P187-188）这和《四民月令》的记载也是一致的：九九是幼童所学，受过一定教育的人都会，所以被认为“薄能”，不足见。从另一方面来说，九九又很重要。比如，《管子·轻重篇》称：“伏羲……作九九之数以合天道，而天下化之。”[4]（P1507）《周髀算经》称：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”[5]（P1-2）九九被推崇到“合天道”、算数起源的高度，这是因为九九是进行筹算的基础，是整个数学的基础，也是因为当时算数和术数联系非常紧密，是究天人之际的基础知识。考虑到当时人们的精神信仰，后者恐怕是更为重要的。

《四民月令》反映的显然是西汉中后期尊儒以后的情况。秦、西汉前期并不会以《孝经》、《论语》、五经等儒家经典为学习的主要内容。那么，这段记载能否说明秦、西汉前期甚至秦朝、战国时期的情况呢？不管朝廷是以法家思想、黄老思想还是儒家思想作为官方指导思想，识字、识数这种最基础、又和官方指导思想没有冲突的教育，应该不会有本质上的变化。也就是说，《四民月令》中记载的识字和九九教育，很可能是贯穿整个秦汉时期的。当然，还需要更多的证据，来进一步证明这一点。

（二）出土秦汉数学文献中所体现的数学教育出土秦汉简牍中多有九九简，学者们已经有过不少论述。值得注意的是，这其中体现了通过自学获得数学知识的情况。邢义田先生指出，汉代西北竹简里有不少关于九九乘法表的习字简，这表明吏卒们“能书、知计算和知律令的能力并不是担任这些职务以前就必然具备，而是在担任职务的过程里逐渐学会的”，而九九乘法表“无疑是最基本的……算书。”[6]（P585-587）这说明对于秦汉时期的普通受教育者来说，九九乘法表是数学自学的主要内容。

通过分析反映了秦汉之际数学成就的《数》、《算数书》等出土文献的内容，也可以得出同样的结论。比如，“《算数书》是一部数学问题集”，[7]（P12）看似奇怪的是，这部问题集却不是以问题开头的，而是以简单的分数乘法和整数乘法开始：

相乘 寸而乘寸，寸也；乘尺，十分尺一也；乘十尺，一尺也；乘百尺，十尺也；乘千尺，百尺也。半【分寸】乘尺，廿分尺一也；三分寸乘尺，卅分尺一也；四分寸乘尺，四十分尺一也；五分寸乘尺，五十分尺一也；六分寸乘尺，六十分尺一也；七分寸乘尺，七十分尺一也；八分寸乘尺，八十分尺一也。一半乘一，半也；乘半，四分一也。三分而乘一，三分一也；乘半，六分一也；乘三分，九分一也。四分而乘一，四分一也；乘半，八分一也；乘三分，十二分一也；乘四分，十六分一也。五分而乘一，五分一也；乘半，十分一也；乘三分，十五分一也；乘四分，廿分一也；乘五分，廿五分一也。乘分之术曰：母相乘为法，子相乘为实。

乘 一乘十，十也；十乘千，万也；十乘万，十万也；百乘万，百万；千乘万，千万。一乘十万，十万也；十乘十万，百万。一乘百万，百万；十乘百万，千万。半乘百万，五十；半乘千，五百；半乘万，五千。[7]（P37-38）

《算数书》之所以先不讲算题，而是要讲整数、分数乘法，是因为，读者需要获得某些基础知识，才能进行相关的学习与应用。这些乘法运算没有一条是九九乘法，但又和九九具有一定的关联，难度也差不多，这显然是因为《算数书》默认读者已经会了九九，要在九九的基础上进行一定的知识扩充——正因如此，它才写了“一乘十，十也”、“一乘十万，十万也”这种简单的整数乘法，却不写九九乘法。正因如此，它才会告诉读者，二分之一乘以三分之一，结果为六分之一，而不必写“二三而六”。由此可见，九九是一般受教育者都会的知识，至于九九之外的数学知识，哪怕是跟九九有关、难度也差不多，也不一定会被普通受教育者掌握。所以，《算数书》才要在九九的基础上进行知识扩充。

《数》也存在类似的情况，而且更能说明问题。由于《数》的编排次序已经被打乱，无法恢复原貌。但明显可以看到一些在九九基础上，进行简单引申的内容：

乘三分，二三而六，六分一也；半乘半，四分一也；四分乘四分，四四十六，十六分一也；少半乘一，少半也。

三分乘四分，三四十二，十二分一也。三分乘三分，三三而九，九分一也；少半乘十，三又少半也；五分乘六分，五六卅，卅分之一也。

五分乘五分，五五廿五，廿五分一也。四分乘五分，四五廿，廿分一也。[8]（P74-75）

《数》中出现了九九的部分内容。但是，这些算题虽然涉及到了九九，其目的却并不是为了讲九九，而是为了讲分数乘法。这段引文实际上是说：×＝？读者不是学过2×3＝6吗？在此基础上扩展一下，就会知道×＝。×＝？读者不是学过4×4＝16吗？在此基础上扩展一下，就会知道，×＝。以此类推。

通过上述分析，可以知道：《数》虽然涉及到了九九，但它的本意并不是为了讲九九，而是为了在九九的基础上，引导读者学会分子为1的最简单的分数乘法。这种教学方法无疑是非常简单有效的。这就是《数》中的九九不全的原因。这也说明，《数》的编写者默认读者已经会了九九，所以才在九九的基础上进行引申教学。

分析《九章算术》，也可以得出相同的结论。《九章算术》的开篇部分的前两道算题是：

今有田广十五步，从十六步。问：为田几何？答曰：一亩。

又有田广十二步，从十四步。问：为田几何？答曰：一百六十八步。（《九章算术》卷一《方田章》）[9]（P11）

“广”即为宽度，“从”同“纵”，即为长度。汉制一亩为二百四十步（实际上应该是二百四十平方步，古人在平方单位的用词方面，有时不是很严格）。这两道算题，实际上是想告诉读者：15×16＝240，12×14＝168。这么做，是为了帮助读者在自己现有知识水平的基础上，进行简单的知识扩充，带领读者逐步深入到更高的数学层次。那么，《九章算术》假定读者需要具有什么样的数学知识呢？《九章算术》中，并没有出现九九乘法的内容，而这两条整数运算只是比九九乘法略难一点。这也表明：《九章算术》默认读者会九九乘法和简单的四则运算——九九乘法和整数的四则运算规则是孩童时期学习的东西，过于基础，不需要讲解。

（三）小结

上面的讨论，既是纵向的，也是横向的。说是纵向的，是指《数》反映的是秦代的情况，《算数书》反映的是秦、西汉初期的情况，《四民月令》反映的是西汉中期以后至东汉的情况，《九章算术》一般认为成书于两汉之交，反映了此前的情况。它们涵盖的时间范围分别是：秦代、秦和西汉前期、西汉中后期到东汉时期、东汉前，将它们连起来，恰恰是一条较为完整的时间链。说是横向的，是指得出结论的材料种类多种多样，包括传世史料、传世数学文献、出土数学文献等，这些不同的材料都指向同一个结论，那么这个结论的可信性，无疑就大大增强了。

将这些纵向的、横向的分析整合起来，就可以得出一个较为可靠的初步结论：秦汉时期，普通受教育者的数学教育，限于九九之类和基础的四则运算，总体来说，他们的数学知识并不复杂。这个结论和苏俊林先生通过分析走马楼吴简《嘉禾吏民田家莂》、仓受米牍中的数值计算，得出的结论——“孙吴时期……基层吏民的数值计算能力可能有整体偏低的倾向”[10]（P327-348）——基本一致（只是苏先生的研究侧重于简牍和孙吴时期）。

二、秦汉时期普通受教育者的计算能力推测

明确了普通受教育者的数学教育，紧接着的一个问题就是：只会九九乘法和基本的整数四则运算，数学能力可以达到什么样的程度？

假设一个人具备以下知识：（1）熟练背诵九九，（2）会0到9的整数加减法，（3）懂得算筹整数四则运算的基本规则。著名数学史家李俨先生在《中国算学史》一书中，对算筹有如下总结：“吾国古代算数用筹，初称为策，算书多称为算。汉、唐以后则多以筹、筹算、筹策、算筹诸名互用。而宋代以后，俗称为算子。”[11]（P59）算筹是当时最主要、最常见的计算工具，也是普通数学学习者所掌握的计算工具。下面，我们来看一下，如果一个人具备了这三种知识，他可以达到什么样的数学水平。

根据《孙子算经》、《夏侯阳算经》的记载，会发现他在整数计算方面的数学知识并不是很低，可以处理比较复杂的整数乘除法运算。先看整数乘法，《孙子算经》中的整数乘法运算规则是：

凡乘之法，重置其位。上下相观，上位有十步至十，有百步至百，有千步至千。以上命下，所得之数列于中位。言十即过，不满自如。上位乘讫者先去之。下位乘讫者则俱退之。六不积，五不只。上下相乘，至尽则已。[12]（P2）

这段记载其实比较简单，复杂的是为了准确定位数位而进行的移位。简单说，计算整数乘法时，要将乘数从最高位往下，不断地乘以被乘数，一直到乘完为止。假设，要计算56×78，就要将乘法分解成如下步骤：（1）5×7＝35，5×8＝40。现在计算的时候，考虑到数位，需要在后面补充若干个0，在算筹中无需补0，这是因为算筹中的数字位置是错开的，空格就表示0。明白了这一点，计算就会变得特别容易。（2）6×7＝42，6×8＝48。（3）结合数位，将这些结果相加。

再来看整数的除法运算。《孙子算经》中的整数除法运算规则是：

凡除之法，与乘正异。乘得在中央，除得在上方。假令六为法，百为实。以六除百，当进之二等。令在正百下，以六除一，则法多而实少，不可除。故当退就十位。以法除实，言一六而折百为四十，故可除。若实多法少，自当百之，不当复退。故或步法十者置于十位，百者置于百位（头位有空绝者，法退二位）。余法皆如乘时。实有余者，以法命之。以法为母，实余为子。[12]（P2）

整数除法与今天的计算方法几乎完全一样，都是从左到右除。差别只是算筹运算需要应用到移位。《孙子算经》认为，这是乘法计算的逆运算，基本相同。

通过上述分析，可以看出，运用算筹进行的整数乘除运算都比较简单。整数乘法实际上，是整数加法和九九乘法表的混合运算；整数除法实际上，是整数减法和九九乘法表的混合运用。涉及的知识并不复杂。因此，可以认为，秦汉时期普通受教育者，在算筹的帮助下，是可以解决比较复杂的整数乘除运算的。

由此可见，秦汉时期的一名普通受教育者，只要能够熟练背诵九九乘法表，会0到9的整数加减法，懂得算筹四则运算的基本规则，就能进行各种各样复杂的整数四则运算。这些基本上能够满足他的日常生活需要。

当然，正如上文提过的，《算数书》、《数》都是从简单的分数计算开始的。这说明，分数计算可能并非人人都能掌握的基础知识。这就在一定程度上限制了普通受教育者的数学水平。

三、数学知识不够用怎么办

既然秦汉时期普通受教育者的数学知识以九九为中心，那么就会有一个问题：这些知识够用吗？如果不够用，那要怎么办？

邢义田先生已经对此有所说明，那就是在需要用到的时候，再进行学习。苏俊林先生也说：“对于基层吏民而言……算术多为自学。”上文对《算数书》不记录九九乘法和整数的四则运算的分析，也说明了同样的道理。

另外，《算数书》并非成体系的数学著作，而是杂抄之作。由此想到的问题是：普通受教育者是如何使用《算数书》等数学著作的？如果是当成学习的工具，那么部分自学者的数学水平可能会比较高；如果只是当成套用的工具，在现实生活中有需求的时候，进行简单的套用，那么就并不影响前面的结论。通过研究发现，《算数书》抄的时候粗枝大叶，没有进行仔细分辨。比如，同一种计算方法只是表达方式稍有差别，就会被当成两种方法。举例来说，《算数书》中的约分术为：

约分约分术曰：以子除母，母亦除子，子母数交等者，即约之矣。

有（又）曰，约分术曰：可半，半之；可令若干一，若干一。

其一术曰：以分子除母，少（小）以母除子，子母等以为法，子母各如法而成一。不足除者可半，半母亦半子。[7]（P43）

表面上看，《算数书》提供了4种方法，其实第1种和第3种都是更相减损法，只是文字表述略有差异，第4种只是第2种的前半部分，实际上只有2种方法。

又比如，《算数书》中的合分术为：

合分术曰：母相类，子相从。母不相类，可倍，倍；可三，三；可四，四；可五，五；可六，六；子亦辄倍，倍及三、四、五之如母。

母相类者，子相从。其不相类者，母相乘为法，子互乘母以为实，如法成一。

有（又）曰：母乘母为法，子羡乘母为实，实如法而一。

其一曰：可十，十；可九，九；可八，八；可七，七；可六，六；可五，五；可四，四；可三，三；可倍，倍。母相类止。母相类，子相从。[7]（P45-46）

《算数书》中看似提供了5种方法，其实第3种和第4种完全一样，只是文字表述有所不同，第2种和第5种也是一样的，只是第2种只说到了6，第5种却一直说到10。作者本来只需要罗列前3种，第4种前的“有（又）”、第5种前的“其一”，说明作者见到别的书上有看似不同的记载，就直接抄过来了，没有深究。

这些说明抄写者并没有认真研究过这些算法，只是把它当成可以套用的公式，需要的时候直接套用就行了。

又比如，《算数书》中有不少简单的数字错误。比如，“相乘”算题出现了这种低级错误。比如，“狐皮”算题、“并租”算题都出现了丢失分母、只剩下分子的现象。这些错误只要计算过一遍，甚至只是仔细看一遍，就很容易发现。没有发现，说明抄写者和拥有者对算数本身不感兴趣，并没有计算过这些题目。题目的意义在于告诉读者，在实际应用的时候，如何将不同的变量套用到公式的不同地方。与之形成鲜明对比的是，《九章算术》中的算题、算法都经过大数学家刘徽的精心编制，没有这种问题。

由此可见，在当时应该有一小部分数学水平更高的人，专门从事数学方面的研究，给需要的人提供应用公式或教材。普通受教育者只是在需要的时候，套用专家们的研究成果即可，并不需要刻意进行高精深的学习。也就是说，就算是需要用到某些超过“小学”范围的数学知识，普通受教育者也不会进行太多学习，其自学程度是非常有限的。

这些数学专家很可能是政府人员，尤其是天文工作者。证据在《汉书·律历志》：“数者……其法在算术。宣于天下，小学是则。职在太史，羲和掌之。”[13]（P956）可见太史、羲和掌管数学知识，进行专门的数学研究，并将其研究成果“宣于天下”，供普通受教育者学习和使用。普通受教育者只需要套用羲和颁布的数学公式即可，不需要懂得其原理。

四、略论秦汉时期受教者的数学水平的三个层次

接下来在前面分析的基础上，对秦汉时期运用数学的受教育者的数学水平，进行简单的分类。

秦汉时期的数学知识主要体现在《九章算术》、《算数书》、《数》等书中。学者们一般认为，这些书（尤其是《九章算术》）基本上代表了秦汉数学的最高水平。但是秦汉数学的最高水平，或者说是秦汉数学最高深的应用，并非《九章算术》为代表的生产生活中的实用数学，而应该是天文历法。理由如下：

1.我国古代数学的产生和发展与天文历法、农业有密切联系。数学家最被统治者看重的在于天文历法，数学最高深的应用在天文历法，数学水平最高的人应该也是懂天文历法的人。《汉书·律历志》说数是管理天文历法的“羲和掌之”，《汉书·艺文志》里没有专门的数学类，而是把数学归入历谱类，原因可能都正在于此。古人对历数的评价也是极尽幽隐、微妙，比如刘炫说：“天文律历，穷覈微妙。”[14]（P1720）这是普通的数学应用所达不到的。

2.检索史籍可知，秦汉时期形容数学水平高深的数学家，用词大都和历法有关，比如张苍“善用算律历”，《汉书·艺文志》说他著有《张苍》16篇，归入阴阳家，又说“阴阳家者流，盖出于羲和之官”。[13]（P1733-1734）这些都说明张苍所长在于和天文历算结合的数学。比如著有《许商算术》的“（许）商善为算，著《五行论历》”，[13]（P3604）班固在总结许商的成就时，强调《五行论历》，而不提《许商算术》，说明天文历法类数学，比应用型数学更重要。比如郑玄擅长《三统历》。我在检索资料的过程中发现，古人所说擅长“九数”、《九章算术》者，几乎全都是指擅长历法的人。这似乎说明整个古代，数学最重要、最高深的应用都是天文历法方面，擅长天文历法才能被称为擅长数学。

综上所述，初步将秦汉时期受教育者的数学水平分为三个层次：普通的受教育者，学习九九乘法表和基本的四则运算；具有一定水平的数学家，研究数学在日常中的应用；水平最高的数学家，关注天文历算。当然，由于材料的缺乏，这个结论需要完善的地方还很多，不足之处，敬请指正。