蔡振玲

引例 （人教版数学9年级上册第102页第12题）如图1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠BAD.

思路1：根据“有切点连半径”，连接OC，根据“切线垂直于过切点的半径”，得到OC[⫽]AD.（请同学们自己完成证明过程.）

思路2：联想到切线长定理，构造另一条⊙O的切线：过点A作⊙O的另一条切线，交CD于点E. （请同学们自己完成证明过程.）

这道习题每年都在各地的中考中演变拓展，散发出无穷魅力.下面我们共同探究这道习题的精彩演绎.

变式1：交换习题的条件与结论，并将角平分线转变为用等弧形式给出，探究直线与圆的位置关系及弦长.

例1（2020·黑龙江·齐齐哈尔）如图2，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两个点，[AC=CD=DB]，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.

（1）求证：DE是⊙O的切线.

（2）若直径AB=6，求AD的长.

解析：（1）证明：如图3，连接OD，

∵[CD=BD]，∴∠EAD=∠DAB，

又∵OA=OD，∴∠ADO=∠OAD ，

∴∠EAD = ∠ADO，

∴OD[⫽]AE，∴∠AED + ∠EDO = 180°，

又∵DE⊥AC，∴∠AED=90°，

∴∠EDO = 90°，即OD⊥DE，

∵OD为⊙O的半径，

∴DE是⊙O的切线.

（2）解：如图3，连接BD，

∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，

∵[AC=CD=DB]，∴∠DAB [=12∠]BOD=[12×13×180°]=30°.

∴BD [=12]AB=3，

在Rt△ABD中，由勾股定理可得AD [=62-32= ]3[3].

点评：证明一条直线是圆的切线通常有如下两种方法：

（1）当直线过圆上某一点时，常常连接这点与圆心构造半径，然后证明直线垂直于这条半径，即有“点”连“半径”，证“垂直”;

（2）当直线与圆的公共点不确定时，常过圆心作直线的垂线，然后证明圆心到直线的距离等于半径，即无“点”作“垂线”，证“垂线段等于半径”.

变式2：交换习题的条件与结论，构造其逆命题.

例2 如图4，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D的切线分别交AB，AC的延长线于点E，F.

（1）求证：AF⊥EF.

（2）小强同学通过探究发现：AF+CF=AB，请你帮小强同学证明这一结论.

解析：（1）如圖5，连接OD，因为EF是⊙O的过点D的……