李世林, 杨卫国, 石志岩

(江苏大学理学院，镇江 212013)

1 引言

对于树图上的每一个节点t，我们称其下一层中与它相邻的节点为节点t的子代，t为这些相邻节点的父代.本文主要考虑二叉树，记为T2，见图1，其特点在于树上的每一个节点t在下一层都有两个不同的相邻节点，即两个不同的子代，分别记为t1和t2，同时用1t表示节点t的父代.

图1 二叉树T2

设(Ω,F,P)为概率空间，{Xt,t ∈T2}是定义在(Ω,F,P)上且取值于G={1,2,··· ,N}(N是正整数)的随机变量集合，设B为T2的子图，记XB={Xt,t ∈B}，xB表示XB的实现.

定义1[1]设T2为二叉树.{Xt,t ∈T2}是定义在概率空间(Ω,F,P)上在有限状态空间G={1,2,··· ,N}中取值的随机变量集合，设p={p(x),x ∈G}是G上一概率分布，P=(Pt(y1,y2|x),t ∈T2)是定义在G×G2上的一随机矩阵，满足

则称{Xt,t ∈T2}为具有初始分布p与随机矩阵P并在G中取值的二叉树上非齐次分支马氏链.

定义2[2]设T是局部有限的无穷树，G={1,2,··· ,N}为有限状态空间，{Xt,t ∈T}是定义在概率空间(Ω,F,P)上在G中取值的随机变量族，设

是G上一概率分布，

是定义在G2上的随机转移矩阵族.如果对于任意的顶点t，

且

则称X={Xt,t ∈T}为具有初始分布式(4)和随机转移概率矩阵族(5)的树指标G值非齐次马氏链.

在二叉树情况下，文献[3]中指出树指标非齐次马氏链是一类特殊的非齐分支马氏链，故有如下引理.

引理1[3]设{Xt,t ∈T2}是由定义1 定义的二叉树上非齐次分支马氏链，其转移概率矩阵Pt= (Pt(y1,y2|x)), x,y1,y2∈G，如果存在转移矩阵Qt= (Qt(y|x)), x,y ∈G，使得

则{Xt,t ∈T2}是树指标马氏链，其转移矩阵为Qt.

近年来，树指标随机过程的极限性质被学者们广泛研究且研究成果颇丰，Benjamini和Peres[4]提出了树指标马尔科夫链的定义，并且对该模型的常返……