曹富军，袁冬芳

(内蒙古科技大学 理学院，内蒙古 包头 014010)

转置是矩阵的一种运算，在矩阵的所有运算法则中占有重要地位.在线性代数[1，2]、多维图像和信号处理中，矩阵转置是最基本的操作，很多矩阵计算均需要矩阵转置操作，矩阵转置操作效率在较大程度上决定了科学计算和图形图像应用程序的性能[3，4].矩阵转置是矩阵的一种特殊变换，它有许多丰富的结果和应用[5，6]，文章通过设计案例揭示矩阵转置对图形变换的几何意义.

1 矩阵转置的定义

定义：设矩阵A=(aij)m×n，将矩阵A的行换为同序数的列所得到的矩阵称为A的转置矩阵，记作AT.

不妨沿着矩阵A和AT的第一行第一列元素a11右下方45°做一条射线，可得如下2个矩阵：

不难看出，AT实际上是由矩阵A沿着通过a11右下方射线作镜面翻转得到的,这也可以看作是矩阵转置的几何定义.

2 矩阵转置的几何意义

定义如下5×5的矩阵A根据矩阵转置的定义，很容易得到AT.

首先，由于矩阵A是方阵，将矩阵A的元素沿对角线进行分割，可以看出AT实际上是将中A所有元素沿主对角线进行镜面翻转得到的.

进一步，假设用1表示白色，0表示黑色，则矩阵A及AT的灰度图像如图1所示.

图1 矩阵A及AT的灰度图像(a)矩阵A的灰度图像；(b)矩阵AT的灰度图像

将矩阵A的灰度图像沿主对角线分割为上、下三角两部分，如图2(a)和(b)所示.分别将矩阵A的灰度图像的上、下三角部分做镜面翻转，如图3，4所示.由图3和4可知，矩阵AT的灰度图像也是将矩阵A的灰度图像沿着主对角线进行镜面翻转得到的.