陈 文，徐晓龙，钟晓伟，窦文涛

(河海大学物联网工程学院，江苏常州 213022)

1 引言

倒立摆是一个非线性自然不稳定系统，其结构简单，物理参数易于调整，成本低，是研究控制理论的理想实验平台之一[1-4]。目前倒立摆的研究主要集中在直线倒立摆和平面倒立摆方面，对环形倒立摆的研究相对较少，但事实上，环形倒立摆具有更高的不稳定性和非线性[5-6]，是校验各种控制理论更为理想的实验设备。

PID控制器是应用范围最广的控制器[7-8]。利用PID控制器控制倒立摆，参数整定一般采用试凑法，该方法主观性强、移植性差[9]；有学者研究了遗传算法整定PID控制器参数的方法[10]。本文针对环形倒立摆系统，研究了PID控制器参数整定方法：分别运用试凑法、遗传算法和改进的遗传算法求取了PID控制器的参数，仿真实验表明，相比于试凑法，遗传算法得到的PID控制器参数使系统的超调量减小、调节时间缩短；改进的遗传算法得到的PID控制器参数使系统的响应性能进一步优化。

2 数学建模

在忽略空气阻力等次要因素的情况下，环形倒立摆的数学模型如图1所示[11]。系统抽象为质量均匀的旋转臂和摆杆，其中旋转臂质量为m1，长度为R，角位移为θ；摆杆的质量为m，摆杆质心到铰链的距离为l，角位移为α。本文仿真所用系统物理参数如表1所示。

图1 环形倒立摆简化模型

表1 系统物理参数

由动力学理论可知，摆杆的质心在x轴方向和y轴方向的速度分量分别为

(1)

系统的Lagrange方程为

(2)

式中：L是拉格朗日算子，q是系统的广义坐标，T是系统总动能，V是系统的势能。

系统的动能主要是由旋转臂的转动(在水平面内)，摆杆的转动(在竖直平面内)，两个摆杆质心的速度(沿x轴方向的速度和y轴方向的速度)4个部分引起的动能组成，所以系统总动能为

(3)

取系统旋转臂所在的平面为零势能面，则系统的势能V(即摆杆的重力势能)为

V=mglcosα

(4)

又因为J1=m1R2/12，J2=ml2/3,,所以系统的Lagrange函数为

(5)

系统的Lagrange方程由广义坐标qi和L表示为

(6)

对于环形倒立摆系统，i=1，2，q=(θ，α)，Qi为系统沿着广义坐标方向上的外力。则可以得到方程组

(7)

其中，Toutput为直流伺服电机的输出转矩，Beq为等效粘性阻尼系数。

Toutput=ηmηgKiKg(Vm-KgKmθ)/Rm

(8)

考虑到环形倒立摆的初始位置在平衡点附近时，假设此时θ和α很小，远远小于1，则方程组(7)可以局部线性化为

(9)

结合式(8)和方程组(9)，可求得环形倒立摆系统的线性化状态方程，代入表1所示的系统各参数值，系统的线性化状态方程为

由线性化状态方程可求出系统的特征值为：λ1=0，λ2=0，λ3=2.331，λ4=-16.853，有非左半平面特征值，且开环阶跃响应如图2所示，表示系统自身不稳定。通过Ctrl=ctrb(A，B)，rank(Ctrl)命令可计算得能控矩阵的秩为4，矩阵的秩等于输出向量维数，因而系统是能控的。

图2 环形倒立摆开环阶跃响应曲线

3 PID控制器设计

3.1 单回路PID控制

环形倒立摆的被控对象有旋转臂位置θ和摆杆角度α，其中摆杆角度α为主要被控对象[12]。PID单回路控制的Simulink图如图3所示。

图3 PID单回路控制的Simulink图

仿真所得结果如图4和图5所示，由图可知，只有摆杆角度能够实现跟踪阶跃信号的控制目标，而旋转臂位置得不到控制，向一个方向发散，即单回路控制方案要让摆杆直立起来，必须让旋转臂一直向一个方向不断加速旋转。但在实际系统中无法实现，所以单回路不能实现环形倒立摆的控制。

图4 摆杆角度α单回路控制仿真结果

图5 旋转臂位置θ单回路控制仿真结果

3.2 双回路PID控制

为同时控制摆杆角度和旋转臂的位置，需要在摆杆角度控制回路的基础上增加一个旋转臂位置控制回路，构成双闭环PID控制器，如图6所示。

图6 PID双回路控制仿真图

采用试凑法可求得两个回路的PID参数分别为：Kp1=30，Ki1=235，Kd1=40，Kp2=35，Ki2=110，Kd2=30。利用Matlab仿真，结果如图7中黑实线所示，基于系统的信号跟踪原理，系统稳定后，输出摆杆角度和旋转臂位置都趋于稳定，控制有效。

图7 三种算法整定PID参数控制效果比较

4 遗传算法优化PID参数

PID控制效果与控制器参数的选择有很大关系，经验试凑法需要花费大量时间和精力，并且还不能确定是否为最理想参数。遗传算法模拟生物的自然进化过程和遗传机制，是一种并行、随机搜索的最优化方法[13-14]，可以实现多目标寻优，还能克服对参数初值的敏感性，找到理想参数，实现控制目标。王琛等人利用遗传算法的PID参数整定方法[15]，较试凑法性能指标有所改善。为对比分析，本文将王琛等人的方法应用到环形倒立摆的PID参数整定中，简述如下：

1)确定变量空间。将PID控制器参数Kp1，Ki1，Kd1，Kp2，Ki2，Kd2确定为待优化的变量，每个参数的取值范围均设为[0，500]。

2)编码、产生种群。用二进制字符串表示每一个参数，并将这6个二进制字符串串连起来作为操作对象，以确定种群。

3)确定目标函数。用二次型性能指标系数作为参数选择的最小目标J。

式中，e1(t)，e2(t)分别表示角度环和位置环的系统误差，u(t)为两个控制器PID输出之和，ρ为权值。

4)确定适应度函数。因为PID控制器寻优是求取目标函数的极小值，但遗传算法通常是求最大值，所以适应度函数取J的倒数，即：F=1/J。

5)确定遗传算法的运行参数。种群的大小取size=30，遗传代数取G=100，交叉概率取Pc=0.9，变异概率取Pm=0.1-[1:1:size]*(0.01)/size，权值ρ取0.001。

遗传算法目标函数优化仿真如图8所示，可以看出目标函数大概在第55代收敛，最优值为

Kp1=261.78，Ki1=192.92，Kd1=143.87，Kp2=113.56，

Ki2=155.40，Kd2=368.47。

图8 遗传算法目标函数优化过程

倒立摆系统控制的Matlab仿真效果如图7中红虚线所示，与经验试凑法相比，系统的响应性能有很大改善：最大超调量减小约75%；调节时间减少约27%。

5 改进的遗传算法优化PID参数

在遗传算法中，恒定的交叉概率和变异概率可能会造成寻找最优解的过程迟缓，且难以产生新的个体，由此产生局部最优或者使收敛速度变慢，为此，在遗传算法的基础上，对优化过程中目标函数选定，变异概率及交叉概率进行了改进。

1)目标函数改进。为获得较理想的过渡过程，性能指标采用绝对误差的时间积分。同时，加入输入的平方项避免控制能量过大和超调，还加入惩戒函数可以使发生超调时，将超调量作为最优指标的一项。故目标函数描述为

式中w1，w2，w3，w4表示权值，分别为0.999，0.001，2.0，100，ey(t)=y(t)-y(t-1)，y(t)为被控对象输出。

2)交叉过程改进。传统的遗传算法一般选取一个固定的交叉概率对种群进行交叉处理，这样可能会存在适应度高的个体和适应度低的个体一样被淘汰。采取分段处理的方式，针对不同部分的个体选取不同的交叉概率。交叉概率为

上式中Pc1=0.90，Pc2=0.60。

3)变异过程改进。和交叉过程一样，采用分段处理的方式，使得适应度越低，变异的概率越高，更容易产生新的个体，而适应度高的个体，能够更好保留优良基因。变异概率如下：

上式中Pm1=0.1-[1:1:size]*(0.01)/size，Pm2=0.1-[1:1:size]*(0.01)/size。

改进的遗传算法目标函数优化仿真如图9所示，可以看出，目标函数大概在第33代收敛，最优值为:Kp1=281.05，Ki1=237.07，Kd1=209.38，Kp2=433.35，Ki2=433.35，Kd2=297.54。

图9 改进遗传算法目标函数优化过程

倒立摆控制的Matlab仿真效果如图7中蓝色点横虚线所示，与经验试凑法相比，系统的响应性能有很大改善：最大超调量减小约81%；调节时间减少约45%。改进遗传算法继承了遗传算法的优点：在给定范围内找到对应的最优解。与遗传算法相比，改进遗传算法得到的PID参数使系统的响应性能更好：最大超调量减小约23%；调节时间减少约25%。比较图8和图9可知：改进遗传算法求取PID参数优化过程的收敛速度比遗传算法快了约40% 。

6 结论

针对环形倒立摆系统，研究了PID控制器参数的整定方法。仿真实验表明：与试凑法相比，遗传算法求取的PID控制器参数使系统的最大超调量减小约75%，调节时间减少约27%；改进遗传算法求取的PID控制器参数使系统的最大超调量减小约81%，调节时间减少约45%。另外，改进遗传算法求取PID参数优化过程的收敛速度比遗传算法快了约40% 。本文提出的改进遗传算法求取PID控制器参数的方法对除环形倒立摆以外的控制系统也有借鉴作用。