余小玲，龚晓峰，雒瑞森

(四川大学电气工程学院，四川 成都 610065)

1 引言

空间谱阵列信号处理在雷达、通讯、导航和电子对抗领域有着广泛的应用前景。基于特征子空间的高分辨谱估计技术中大部分算法要求信源个数精确已知。当估计的信号源数目与真实的信号源数目不一致时，空间谱曲线中的峰值个数与实际源数不相同，会对真实信号的估计产生严重的影响。然而，在实际应用场合，信号源数往往是一个未知数。所以，信源数的准确估计是子空间类谱估计算法需要解决的关键问题。

针对信源数估计问题，相关学者提出了很多较为有效的方法，包括Akaike 信息论(AIC)准则[1]、最小描述长度(MDL)准则[2]、有效检测(EDC)准则、盖氏圆法(GDE)[3]以及正则相关技术(CCT)[4]。这些算法能准确估计信号源不相关或者独立时的个数，但是在多径传播和复杂电磁干扰背景下，会产生大量的强相关或相干信号，信号子空间会向噪声子空间扩散，造成秩亏，导致算法失效[5]。因此相干信源估计问题，首先应是对信号解相干。围绕信号的解相干问题，很多有效算法被提出，大致分为两类：一类是空间平滑类；另一类是矩阵重构类。空间平滑类算法的原理是将空间平滑算法与信息论的方法相结合来实现相干信源数目的估计。主要包括前向空间平滑算法[6]、前后向空间平滑算法[7]以及空间差分平滑算法[8]。该算法是是通过牺牲有效阵元数目、实现解相干，会造成阵列孔径的损失。矩阵重构法的原理是直接利用阵列接收快拍数据或利用数据协方差矩阵进行矩阵重构方式解相干。主要包括矩阵分解法[9]和Toeplitz法[10-12]。该算法在低信噪比时性能良好，得到广泛应用。

本文针对非相关源与相干源共存时的信源数目估计问题，利用阵元接收信号间的互相关信息，构造一个秩只与相干源信息有关的差分矩阵，从而将非相关源与相干信源的估计分辨开。该算法首先利用SORTE法估计相互独立信源个数，结合非相关信源导向矢量、相干信源阵列导向矢量矩阵分布与噪声子空间正交特性的差异，根据DOA估计结果得到非相关信源数估计。然后通过利用阵元接收信号间的相互关系，构造差分矩阵，最后利用SORTE法实现相干信源数估计。

相比常规信源数估计算法，本算法将非相关信源与相干信源分开分辨，重复利用阵列接收数据，具有更强的信源承载能力及阵元节省能力，且精确度较高。

2 信号接收模型

信号接收阵列模型如图1所示。

图1 信号接收阵列模型

假设有M个窄带远场信号源Si(t)以角度θi(i=1，2，…，M)入射到空间阵列上，其中阵列天线由2N+1个线性分布阵元组成，假设阵列中各阵元是各向同性的且不存在通道不一致、互耦等因素的影响，如图1所示。假设噪声为零均值、方差为δ2的高斯白噪声，阵元间噪声彼此独立，且与信号不相关。以中间阵元为参考阵元，则其阵列接收信号写成矢量表达式为

X(t)=A(θ)S(t)+V(t)

(1)

式中，X(t)为阵列接收的快拍数据的矢量表达式；A(θ)为对应的(2N+1)×M阶阵列流形矩阵；V(t)为噪声矢量，R为信号协方差矩阵。

X(t)=[x-N(t)，…，x-1(t)，x0(t)，x1(t)，…，xN(t)]T

(2)

A(θ)=[a(θ1)，a(θ2)，…，a(θM)]

(3)

(4)

S(t)=[s1(t)，s2(t)，…，sM(t)]T

(5)

V(t)=[v-N(t)，…，v-1(t)，v0(t)，v1(t)，…，vN(t)]T

(6)

R=E[X(t)XH(t)]

(7)

3 算法原理

3.1 非相关信源数估计

(8)

SORTE信源估计法主要思想是利用特征值二阶统计方差信息构造信源估计判决函数[13]。

若定义M1=Mu+D、∇λi=λi-λi+1，其中i=1，…，2N，则有

∇λM1+1=∇λM1+2=…=∇λ2N=0

(9)

定义特征值的方差为δk。

(10)

其中，k=1，…，2N。

定义SORTE函数为

(11)

由式(11)得，SORTE函数满足如下关系：

(12)

则独立信号(非相关信号与相干信号组之和)源估计的判决函数为

1

(13)

结合，非相关信源导向矢量、相干信源阵列导向矢量矩阵分布与噪声子空间正交特性的差异，根据DOA估计结果得到非相关信源数估计。

3.2 相干信源数估计

假设M个信号中前L个相干，其余各信号间不相关，则第n个阵元上的接收信号为

(14)

式中，n=-N，…，-1，0，1，…，N;βi=ρiejΔφi，ρi>0，i=1，2，…，L;Φ=-2πd/λ。定义第n个和第k(k≥0)个阵元上接收信号的互相关为

(15)

同理，对应的第-k(-k≤0) 个与第-n个阵元上的接收信号的互相关为

(16)

用第k个阵元与所有阵元的接收信号的互相关构造如下(N+1)×(N+1)维Toeplitz矩阵

(17)

同理用对应第-k个阵元与所有阵元的接收信号的互相关，构造如下(N+1)×(N+1)维Toeplitz矩阵

(18)

构造差分矩阵

(19)

为了提高协方差矩阵特征空间对噪声扰动的鲁棒性，所有阵列的互相关性和自相关性都被采用，按如下处理所有的差分矩阵

(20)

文献[14]已证明，通过构造差分矩阵达到了相干信源去相干的目的。

对于入射信源中有多个相干信源组的混合情况，由单组相干信源同理可推导。

3.3 算法的基本步骤

综上所述，本文算法基本步骤如下：

1)利用SORTE得到非相关信源数和相关信源组数。

2)结合常规分辨方法中非相关信源阵列导向矢量与噪声子空间正交关系特性，得到非相关信源数目的估计。

3)构造差分矩阵。

4)对差分矩阵分解得到的特征值，利用SORTE算法估计得到相干信源数。

4 数值仿真与分析

为验证本文算法的性能，将本文算法与基于FSS、FBSS、SDS和Toeplitz矩阵重构的解相干算法进行比较。同时，为了验证算法的有效性，进行了4组仿真。

实验一：单组相干源时验证算法解相干能力对信噪比和快拍数的敏感程度，考虑均匀线阵的阵元数为13，阵元间距为半波长。其中2个非相关信号和一组4个相干窄带信号同时入射到阵列上，非相关信号DOA分别为[20°，30°]，一组相干信号DOA分别为[-20°，10°，-50°，0°]。假设噪声为零均值、方差为δ2的高斯白噪声，阵元间噪声彼此独立，且与信号不相关。Monte Carlo实验次数为100。图2是采样快拍数为200时成功检测概率与SNR关系曲线，图3是SNR为15dB时成功检测概率与快拍数的关系曲线。

图2 单组相干源时算法对信噪比的敏感程度

图3 单组相干源时算法对快拍数的敏感程度

如图2所示，本文算法在低信噪比下性能明显高于另外4种算法，并且在信噪比为-10dB～30dB，步进为3dB下，信噪比为2dB时，成功检测概率达到98%以上，由此可见本文算法对信噪比的敏感度较低。

如图3所示，即使在快拍数很小的情况下，本文算法依旧可以保证99%以上的正确率，即快拍数对最后的估计结果几乎不会造成影响，取信噪比为15dB快拍数为20到200，步进为20。SDS 算法在快拍数为200时正确率才能达到 96%，另外3种算法，即使在快拍数达到200的情况下正确率也没有达到80%。

实验二：多组相干源时验证算法解相干能力对信噪比和快拍数的敏感程度。其中2个非相关信号和两组4个相干信号同时入射到阵列上，非相关信号DOA分别为[20°，30°]，第一组相干信号DOA分别为[-20°，10°]第二组相干信号DOA分别为[-40°，0°]。其它仿真参数同实验一。图4是采样快拍数为200时成功检测概率与SNR关系曲线。图5是SNR为15dB时检测概率与快拍数的关系曲线。

图4 两组相干源时算法对信噪比的敏感程度

图5 两组相干源时算法对快拍数的敏感程度

如图4所示当信噪比大于26dB时5种算法的正确率均可以达到100%，但是在信噪比的敏感程度上，本文算法最优，在5dB时的正确率就可以达到100 %。

如图5所示，在快拍数为40的情况下本文的正确率就可以达到100%，其它4种算法，即使在快拍数达到200时，正确率也均低于90%。

实验三：单组相干源角度接近时验证算法解相干能力对信噪比和快拍数的敏感程度。其中2个非相关信号和一组4个相干信号同时入射到阵列上，非相关信号DOA分别为[7°，-21°]，相干信号DOA分别为[-20°，5°，-30°，0°]，其它仿真参数同实验一。图6是采样快拍数为200时成功检测概率与SNR关系曲线。图7是SNR为15dB时成功检测概率与快拍数的关系曲线。

图6 相干源角度接近时算法对信噪比的敏感程度

图7 相干源角度接近时算法对快拍数的敏感程度

如图6、图7所示，当非相关信源与相干信源角度接近时传统的FSS、FBSS和Teop算法通过空间平滑或矩阵重构之后仍可能是秩亏的状态，因此正确率较低，但是本文算法和SDS是通过差分构造差分矩阵将非相关源和相干源区分开，因此分辨率不受角度间隔的影响。

实验四：信源数等于阵元数时验证算法解相干能力对信噪比和快拍数的敏感程度。其中9个非相关信号和一组4个相干信号同时入射到阵列上，非相关信号DOA分别为[20°，30°，-10°， -45°，40°，-60°，60°，15°，-25°]，一组相干信号DOA分别为[-20°，10°，-50°，0°]。其它仿真参数同实验一。图8是采样快拍数为200时成功检测概率与SNR关系曲线。图9是SNR为15dB时成功检测概率与快拍数的关系曲线。

图8 信源数等于阵元数时算法对信噪比的敏感程度

图9 信源数等于阵元数时算法对快拍数的敏感程度

如图8、图9所示，当入射信源数等于阵列元数时，FSS、FBSS、Toep算法均失效，只有本文算法和SDS能够检测13个信号，显然本文算法的精确度较SDS高，且在信噪比为11dB时，正确率达到99%，对快拍数的敏感程度显然也优于SDS。在信源数等于阵元数时仍有较好的估计结果，可见本文的算法的信源承载能力较强。

5 结束语

针对相干源与非相关源并存时的信源数目估计问题，提出了一种基于差分算法的信源数估计方法。利用阵元间的互相关信息构造差分矩阵，使其秩只与相干源的信息有关，达到相干源解相干。该算法首先利用SORTE法估计独立信源的个数，结合常规分辨方法中非相关信源阵列导向矢量与噪声子空间正交关系特性，实现非相关信源数目的估计，再构造仅包含相干源信息的差分矩阵，实现相干源数目的估计。该算法通过构造差分矩阵，消除了噪声的影响，将相干源与非相关源的估计分隔开。

实验结果表明：1)相比传统的空间平滑类算法、矩阵重构类算法以及SDS算法，本文算法在快拍数小和信噪比低的情况下依然能够准确的估计信源数目。单组相干源时，当快拍数为200的情况下，信噪比为2dB时，成功检测概率达到98%以上。当信噪比为15dB的情况下，快拍数为20时成功检测概率达到99%以上；2)当信源角度接近时算法依旧有很好的性能。在快拍数为200的情况下，常规信源数估计算法在信源角度接近时，信噪比达到30dB时，成功检测率也只能达到60%，本文算法，当信噪比为5dB时，成功检测率能达到98%以上；3)将非相关信源与相干信源分开检测，算法的信源承载能力较强。常规信源数估计算法都会损失阵列孔径，本文算法将非相关信源与相干信源分开分辨，重复利用阵列接收数据，具有更强的信源承载能力及阵元节省能力，当阵元数为13时，可估计的信源数与阵元数相同。