孙正凤，张 朋，刘小军

(南京理工大学泰州科技学院，江苏 泰州 225300)

1 引言

在航空航天、国防和空间探测等领域，轮式机器人因其具备速度快、效率高及可拓展性强等特点在以上领域得到了广泛的应用。轮式机器人工作中，其轨迹跟踪问题是其任务可否完成的重要基础。轮式机器人属于一种非线性耦合性的运动目标，由于实际工作环境的复杂性，对其进行轨迹跟踪过程中存在众多难点，国内相关学者对此进行了大量的研究，并得出了一些较好的研究成果。文献[1]提出了一种基于预测迭代学习的轨迹跟踪方法。该方法首先设计具备反馈作用的学习机模型，采用该模型来调整轮式移动机器人移动轨迹跟踪输出信息的误差，将调整结果输入到反馈控制器中从而完成轨迹跟踪。该方法能够有效消除所在环境外界扰动的影响，但对其所处的工作环境的适应性较差，存在轨迹跟踪误差较大的问题，实际应用效果并不理想。文献[2]为了使轮式移动机器人的轨迹跟踪更为精准，建立了轨迹跟踪动态误差模型。基于稳定性理论，提出一种信息反馈状态，并通过Lyapunov函数稳定性控制，来提高轮式机器人轨迹跟踪精准度。但由于模型参数的不确定性会对轨迹跟踪结果产生影响，导致其系统的跟踪精度降低。文献[3]为了加强轮式机器人的轨迹跟踪效果，在轮式机器人运动学模型上设计了自适应滑模控制机制，在此机制激励下建立了一种倾斜参数的自适应函数；基于自适应函数提出了对等控制并改变控制器的角速度，将机器人的误差以及轨迹辨识阶段的不确定参数反馈到控制器中，计算出左右驱动的期望角速度。但由于机器人工作环境的复杂性导致在反馈的信息中存在不稳定因素，这种因素的存在导致轮式机器人的轨迹跟踪精度还有待提高，因此难以应用到实际生活中。

为了有效解决在复杂应用环境下的轮式机器人轨迹跟踪的质量和精准度问题，本文针对轮式机器人惯性测量单元进行了深入研究，提出一种基于惯性测量单元的轮式机器人轨迹跟踪方案。首先对轮式移动机器人的轨迹建立位姿和空间坐标，其次利用惯性测量单元的控制系统通过运算公式来完成轮式机器人的轨迹跟踪，最后在自主的轮式机器人平台上进行实验。实验结果表明，本文提出的轨迹跟踪方法可有效提高轨迹跟踪精度，验证了本文方法的有效性。

2 轮式机器人运动学模型

2.1 轮式机器人运动学关系

假设，分别用L(X，Y，Z)，R(x，y，z)表示空间坐标系与轮式机器人坐标系，从空间角度来看，空间坐标系采用东-北-天坐标系，即(ENU)。采用欧拉角描述不同坐标系之间的转换关系，设Θ=[φ，θ，ψ]T表示轮式机器人坐标系相对于空间坐标系的位姿角，φ表示空间坐标东的滚角(绕X轴)，使用θ表示坐标北(绕Y轴)，ψ表示空间坐标系的位姿角(绕Z轴)。为了表述轮式机器人的轨迹跟踪性质，将空间坐标系的图表用斜视图代替。由Z-Y-X欧拉角[4]的移动顺序可以获得轮式机器人的空间位姿，使用H和W来分别表示轮式机器人前后轮心距和左右轮心距，在坐标系R中，将轮式机器人的重心轨迹跟踪速度设定为vG，轮式机器人前后轮转动角速度为wRz，结合跟踪速度vG和转动角速度wRz，可将目标机器人左右轮心线速度[5]在x轴方向描述为

(1)

其中，ICRG、ICRl、ICRr分别表示机器人本体、机器人左侧车轮落地和右侧车轮落地的瞬心速度，将点R在坐标上表达为(xGc，yGc，0)、(xlc，ylc，0)、(xrc，yrc，0)，这三个点位在y轴的水平方向，即

(2)

设定目标机器人四向轮的纵向滑移率为λi，则有

(3)

式中：r是目标机器人车轮半径，Δvix=vix-rωi。对于左右两边的机器人车轮来说有λl=λ1=λ2，λr=λ3=λ4。考虑到轮式机器人的实际移动环境，取λ∈[-1，1]。λ∈[-1，0]表示目标机器人车轮保持制动状态，λ∈[0，1]表示目标机器人车轮保持驱动状态。假设，Δvi表示轮式机器人车轮接触到地面时的滚动速度，根据轮式机器人速度瞬心和转动角速度可得

(4)

当轮式机器人在进行逆向运动时，满足Δv1x=Δv2x≥0，且Δv3x=Δv4x≤0，左体车轮处于静止状态时，右侧位置处于紧急制动状态。

2.2 惯性测量单元运动学关系

在上述分析轮式机器人运动学关系的基础上，需要进一步分析惯性测量单元运动学关系。使用(xR1，yR1，0)、(xR2，yR2，0)分别描述惯性测量单元IMU1、惯性测量单元IMU2在空间坐标系R上的坐标。

因为两个惯性测量单元连接在轮式机器人实体上，因此在轮式机器人移动的过程中，两个惯性测量单元的速度瞬心与轮式机器人重心G的速度瞬心重叠，因此考虑到轮式机器人的移动过程中存在加速和减速度的情况，惯性测量单元测量出的x、y平面加速量Ah1、Ah2包含了向心加速度和切向加速度。假设，向心加速度为ap1、ap2；切向加速度为aq1，aq2，设速度瞬心ICRG到惯性测量单元IMU1的长度为r1，速度瞬心到惯性测量单元IMU2的长度为r2，则有

(5)

(6)

(7)

当轮式机器人在向左旋转且xR1>xGc>xR2时，结合1.1节所描述的轮式机器人运动学关系，采用式(7)表示具有非完整性约束的轮式机器人运动学特性：

(8)

式中：v和ω分别表示轮式机器人的水平速度和轮式机器人的车轮转动速度，均为控制量；(x，y)是运动平面上轮式机器人在笛卡尔空间[6]坐标中的坐标位置，θ是轮式机器人对于x轴的姿态角。

假设，轮式机器人的车轮不存在打滑现象，其移动轨迹约束项可描述为

(9)

相对于任意制定的几何轨迹f(x，y)=0，设轨迹跟踪的信息控制反馈为U=(v，ω)T=(v(s)，ω(s))T。此公式使得轮式机器人可以在指定的几何轨迹上运动，存在S>0，使得s>S时，有f(x(s)，y(s))<ξ。由于S是时间t的单一递增函数，因此反馈的控制信息在时间上满足：对任意给定ξ>0，存在T>0，使t

3 基于运动学特性的轨迹跟踪控器设计

在分析轮式机器人运动学关系与惯性测量单元运动学关系的基础上，提出基于运动学特性的轨迹跟踪控器设计。

(10)

根据式(20)即可获得轮式移动机器人的期望轨迹跟踪路径

(11)

轮式机器人的轨迹跟踪时间t和机器人的轨迹长度s参考之间的关系是s=v(t)。

为了使轮式机器人有效跟踪期望路径[10]，需要相关公式推导出轮式机器人的实际平行移动速度v和实际转速ω的反馈控制率[11]。根据式(11)有ωd(s)=vd(s)c(s)。其中vd(s)表示期望点的期望速度，c(s)表示期望点的曲率。设定轮式机器人偏离指定轨迹的误差为

(12)

式中，dx为x轴的方向误差，dy表示y轴的方向误差。

令控制法则为

(13)

其中，常数k1>0，k2>0，满足下列公式

(14)

综上所述，完成对基于惯性测量矩阵的轮式机器人轨迹跟踪方法的设计，通过选择线速度和角速度作为控制器参数，在此基础上，结合动力学模型设计轮式机器人轨迹跟踪控制器，可以使轮式移动机器人在指定的轨迹上进行进跟踪，能够有效提高轮式机器人轨迹跟踪精度。

4 仿真验证

图1 仿真结果

图1(a)表示轮式机器人从起始点出发，到达目标点的实际轨迹跟踪结果。可以看出，在本文方法控制下，轮式机器人的实际移动轨迹高精度跟踪了期望轨迹。同时观测图1(b)、(c)、(d)可知，轮式机器人的轨迹跟踪收敛性误差等于0，并且轨迹收敛速度非常快，轨迹跟踪也更为完整。

为了进一步验证本文方法应用于轮式机器人轨迹跟踪的综合性能，将本文方法与文献[3]提出的基于自适应滑模控制的轨迹跟踪方法进行对比，图2(a)本文方法的轨迹跟踪结果，图2(b)是文献[3]方法迭代800次的轨迹跟踪仿真结果。

图2 不同方法轨迹跟踪仿真结果

本文提出的方法与基于自适应滑模控制的轨迹跟踪方法的跟踪结果对比如图2(b)。与其它方法进行比较，本文方法有着更好的轨迹跟踪的精准度和聚敛速度。因此对仿真的结果进行分析能够得到：本文通过惯性测量单元进行轨迹跟踪的效果比传统轨迹跟踪方法更为精准，跟踪性能更好。

4.1 面向时延的轨迹跟踪控制分析

通过以下实验对比轨迹跟踪控制器，遭遇时间延迟后的跟踪能力。针对实验环境，设定轮式移动机器人初始状态为(-1，0，π/4)。跟踪时间为t=100ms时，轮式机器人遭到突发的时间延迟。本文提出的方法和文献[2]方法的比对结果如图3所示，设Z轴表示为时间t。

图3 面向时延发生时不同方法轨迹跟踪效果比较

图3表示突发的时间延迟后，轮式机器人的跟踪效果三维展示图。图3中较细实线代表本文方法控制下的机器人实际轨迹，加粗实线代表文献[2]方法的跟踪轨迹，圆点为障碍物，虚线表示期望轨迹。图3中时间t=100ms时，即不同方法遭遇突发的时间延迟，此时轮式机器人停止移动，t仍然在持续增加。当时延t=500ms时，轮式机器人行动恢复正常，并继续按照制定的轨迹进行跟踪。文献[2]方法在不确定性时延发生后，已无法按照原制定的轨迹进行跟踪；而本文方法通过设计轮式机器人工作轨迹参考量，结合动力学模型设计的轮式机器人轨迹跟踪控制器，通过控制器的调整仍然可以有效跟踪期望轨迹。说明本文方法跟踪过程不依赖于时间参量，轨迹跟踪效果更为优异。

5 结论

本文针对传统轮式机器人轨迹跟踪控制方法存在的多方面问题，提出一种基于惯性测量单元(IMU)的轮式机器人轨迹跟踪方法。通过建立轮式机器人的空间坐标来定位轮式机器人的移动轨迹；而后建立机器人运动模型，在通过连接在机器人实体上的两个惯性测量单元给出速度瞬心与两个惯性测量量之间的关系。在此基础上设计轮式机器人轮速控制器，通过该控制器来完成轨迹跟踪。实验结果表明，所提轨迹跟踪方法能够有效克服时延参量问题，验证了所提方法在轮式机器人相关应用领域中具备鲁棒性。所提方法不仅改进了传统轮式机器人轨迹跟踪控制方法存在的问题，还为机器人轨迹跟踪控制技术的发展奠定了坚实的基础，提高了轨迹控制精度的同时为轮式机器人的使用者提供了极大便利。