余 晖，胡凌燕

(南昌大学信息工程学院，江西 南昌 330031)

1 引言

作为非线性科学研究分支的分形理论主要研究自然界与非线性系统里的不光滑、不规则几何形体，且该理论被广泛应用于物理、地质、计算机科学、材料科学以及其它工程技术领域中。计算机图形学的普及应用与蓬勃发展，推动了一系列抽象图形与人造物体的形态展示力，但仍无法有效仿真不规则图形与自然界景物，在不规整形体图形中引入分形理论与牛顿迭代算法，能够绘制出绚丽多彩的分形图形。分形就是将一个零碎或粗糙的几何形状划分为多个部分，各部分均与缩小整个图形的形状类似，也就是说，分形有自相似属性。牛顿迭代算法通过计算机迭代，可以获取更加复杂的分形结构、更加丰富的颜色、更多的信息以及更强的防伪属性。图像的前期预处理中要增强图像信息，以此达到突出图像可用细节、噪声去除、放大不同物体特征差异以及优化视觉效果等目的，该项技术作为图像处理的关键环节，关注度越来越高，也得到了以下具有代表性的研究成果。

文献[1]提出基于结构层与纹理层分离的图像增强方法，划分图像为纹理层与结构层后，针对结构层，采用累积分布函数，创建具有参数自适应性的Gamma校正算法，增强图像该层的亮度与对比度，针对纹理层则通过高频分量提升法增强纹理细节，将两层结合后即为增强后图像；文献[2]提出基于简化大气散射模型的单幅红外图像增强方法。该方法采用图像景深模型架构参考图，通过聚类策略分割成数个景深近似场景，经简化大气散射模型建模，估算出场景透射率，优化处理粗略透射率图后，得到增强的红外图像。

但是上述传统方法均因缺乏色彩通道处理过程，导致分形图像细节增强效果不理想。因此，本文以牛顿迭代法为算法依据，提出一种新的分形图像纹理细节增强方法。考虑最大直径与序列块规格参数，提升分形维数精确度与纹理重构质量；通过增强较大的序列块纹理边缘，增加待增强部分的图像信息覆盖率，防止纹理结构遭到破坏；减小序列块规格，提高纹理处理精细度。

2 分形图像绘制

2.1 基于牛顿迭代算法的分形图像迭代初始点设置

采用牛顿迭代算法计算复平面函数f(Z)=0，该函数的牛顿迭代方程表达式如下所示

(1)

(2)

f(Z)零点为φ的超吸引不动点，当|Z|为较大值时，得出下列表达式

(3)

式中，f(Z)的阶是n，斥性点是∞，因此可得出下列表达式

A(ω)={Z0：φ(Zk)→ω}

(4)

式中，零点ω吸引域为A(ω)，也就是基于牛顿迭代算法收敛于零点ω的初始点集合。

利用牛顿迭代算法绘制分形图像，设定迭代方程，选取复平面上任意一点Z0为迭代初始点，通过着色处理形成分形图像。假设A×B点是显示器分辨率，颜色的可显示种数为k+1，其中，k=0，1，2，…，具体流程描述如下：

1)计算n在迭代公式f(Z)=zn-1内的取值范围；

2)选取分形图像绘制的坐标范围极值xmax、xmin、ymax与ymin，假设M为当前的迭代次数，N为迭代最大次数，ε是迭代精度，则分别得到下列X、Y方向上的坐标差值占比计算公式

(5)

(6)

3)采用下列公式设置迭代初始点值

Z0=x0+y0i

(7)

其中，i为常数，X、Y方向上的初始点值为x0与y0，表达式分别如下

x0=xmin+mx×dx

(8)

y0=ymin+my×dy

(9)

式中，mx与my表示X、Y方向的可用像素个数，取值范围分别是mx=0，1，…，A-1、my=0，1，…，B-1。

2.2 零点吸引域映射

根据上节内容利用牛顿迭代算法计算f(Z)=Z3-1=0的解值，由式(1)推导出下列迭代函数方程式

(10)

假定图像绕原点转动120°的旋转变换为ρ(Z)=Ze2πi/3，代入式(10)可得出下列表达式

(11)

(12)

将上列两式结合比较后，推导出下列等式关系

ρ[φ(Z)]=φ[ρ(Z)]

(13)

3 分形图像纹理细节增强方法

3.1 分形图像色彩通道架构

3.2 基于分形维数与序列块的细节增强

分形的主要特征与度量形式是分形维数[7]，用于描述稳定特征量。假设分形图像序列块Rn的一个非空有界集合为F，最大直径是ε且能够涵盖非空有界集合F的集合最小数量为Nε(F)，则采用下列公式描述非空有界集合F的分形维数

(14)

针对分形图像的分形维数，把图像划分成网格，边长是ε，并求取涵盖图像目标部分的网格数量Nε(F)，若单个像素点尺度ε为一个二维集合，不存在分形属性，图像序列块R是单个像素，此时，都无法增强分形图像的纹理细节，所以，当图像序列块R超出2个像素时，将分形图像看成拓扑维数取值非整数图像，经计算图像的分形维数，完成目标图像分类，若分形维数接近，则图像属于同类图像，图像之间的相似度随着维数差异的变小而升高。

由于分形图像的对数形式与分形维数不存在相关性，故利用下列计算公式求解分形图像的分形维数：

(15)

当分形图像属于同一幅时，ε1<ε2，可通过下式推导出与之对应的分形维数Dε1(F)与Dε2(F)的关系：

⟹Dε1(F)

(16)

当分形图像属于同一幅时，R1

R1

(17)

通过上列两式可以发现，最大直径ε取值越小，分形维数精确度越高，分形图像纹理重构质量随着序列块R规格的减小而增加。分形图像的纹理粗糙度与模式复杂性信息特征，均能够从非线性[8]角度利用分形维数来描述。增强分形图像纹理细节时，通过增强较大的序列块纹理边缘，使重构的待增强部分覆盖更多的图像总体信息，基于图像整体框架，防止纹理结构遭到破坏，不断减小序列块规格，细化纹理增强效果。

当分形图形内的相似子块在邻域位置出现时，部分子块将产生不完全匹配现象，所以，为进一步提升纹理细节增强效果，应用局部迭代策略来解决此类问题。

若序列块Ri与待增强部分G相交，则搜索主块Di也与区域G相交。选取对应于各序列块Ri的主块Di，计算收缩仿射变换[9]wi，根据wi(Di)=Ri得出下列关系式

wi(Di∩G)≈Ri∩G

(18)

假定完备的度量空间为(X，d)，X所有非空集子集架构的空间为Γ(X)，若x∈X，集合J∈Γ(X)，则点x到集合J的距离用d(x，J)=min{d(x，y)，y∈J}表示；若集合J，Q∈Γ(X)，则集合J∈Γ(X)与集合Q∈Γ(X)的距离用d(J，Q)表示；采用下列等式描述Γ(X)内点j与点q间的Hausdorff距离[10-11]

h(j，q)=d(j，q)∨d(q，j)

(19)

4 实验结果与分析

实验的运行环境采用Windows 10操作系统，酷睿i5-4580 3.3GHz处理器，图像部分由MATLAB软件实现。

从某个分形图像数据库中，任意选取两幅分形图像作为实验对象(如图1所示的实验样本)，分别采用文献[1]提出的基于结构层与纹理层分离的图像增强方法与文献[2]提出的基于简化大气散射模型的单幅红外图像增强方法以及论文方法增强所选图像的纹理细节，对比各方法的仿真结果，得出实验结论。为验证方法的适用性与有效性，再选用一幅细节丰富的分形图像用于探索增强效果(如图2所示)。

图1 实验样本分形图像示意图

4.1 不同参数指标对增强效果的影响测试

由于迭代初始参数M、色彩初始值(C1，C2，C3)为图像纹理细节的主要影响因素，下面分别探讨各因素对增强效果的影响。

1)设定其它参数相同，迭代初始参数M取不同值时：假设色彩初始值RGB是(118，158，108)，色彩渐变参数a=5，迭代初始参数N=24，色彩通道表达式与图1一致，M取值11与12时的分形图像分别如图2所示。

图2 不同迭代初始参数M的分形图像增强效果

2)设定其它参数相同，色彩初始值取不同值时：假设色彩渐变参数a=6，迭代初始参数M=10，N=24，色彩通道表达式与图1一致，色彩初始值RGB取(118，158，108)与(100，210，140)时的分形图像分别如图3所示。

图3 不同色彩初始值的分形图像增强效果

根据图2、图3的实验结果可知，本文给出的影响分形图像细节增强的理论是可靠的，实验中以迭代初始参数和色彩初始为例，对实验样本进行细节增强处理，参数变化情况下，所得到的增强效果是不同的。

4.2 各方法增强效果对比

为进一步验证所提方法的应用有效性，利用PSNR(Peak Signal-to-Noise Ratio，峰值信噪比)、MSE(Mean Square Error，均方误差)以及处理时间三个指标作为测试指标，采用文献[1]方法、文献[1]方法作为对照方法，利用几种方法分别进行分形图像的细节增强，各方法的指标数值如表1所示。

表1 各方法评价指标值

根据表1中数据可以看出，相比文献[1]与文献[2]方法，论文方法通过分形维数与序列块的粗略增强形式与解得的压缩映射吸引子唯一解，得到了最优的峰值信噪比与均方误差，因运算量较大，所以处理时间不是最理想状态，运算速度仅低于文献[2]方法。

5 结论

根据牛顿迭代算法原理与分形理论的契合性，本文设计基于牛顿迭代算法的分形图像的纹理细节增强方法，由于研究方向与水平深度存在的局限性，应在以下方面做出改进：在保持纹理细节精度的基础上，提出一种运算方法，简化计算量，提升运行速率，加快图像处理速度；本文应用算法相对比较单一，应在今后的研究中引入其它有效的增强算法加以混合，提高方法的综合性能，令该方法具有更广泛的应用前景。