徐 珂，段博韬

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

0 引言

若n维欧氏空间Rn中一个内部非空的紧凸集，其任意一对平行的支撑超平面之间的欧氏距离均等于该集合的直径，则称该凸集为等宽集.显然，Rn中的球都是等宽集.此外，Rn中还有许多异于球的等宽集，关于Rn中等宽集的相关问题和结论详见文献[1-3].Rn中等宽集的概念可以通过不同的方式推广到一般的Banach空间中，其中常见的Banach空间中常宽集的定义方法如下[4]：设X*是Banach空间X的共轭空间，M是X中的一个有界闭凸集，集合δ(M)={‖x-y‖:x,y∈M}表示M的直径.若对任意的单位泛函f∈X*，有

sup{f(z)∶z∈M-M}=δ(M)，

则称M是X中的一个等宽集.当X的维数有限时，有限维Banach空间中中心对称的等宽集只能是球；当X为无限维Banach空间时，该结论未必成立[5].

Banach空间完备集的概念最早是由Meissner在1911年研究Rn中的等宽集时给出[6]的(详见定义1).自此以后，有关完备集和其特征及性质的研究一直受到学者们的广泛关注[7-9].1958年，Eggleston 给出了在n维欧氏空间Rn中将集合完备化的方法，并且提到任何一个有界集都包含在一个与之直径相同的等宽体中[10].利用Eggleston构造法的思想，Papini和吴森林教授给出了在可分的Banach空间中将内部非空的有界闭凸集完备化的一种方法，但该方法需要无穷次迭代[4].

现有的一些完备集的构造方法通常都要利用过凸体直径的超平面，将凸体分割再进行完备化，其中Bavaud在文献[11]中研究得到了将欧氏平面R2中的集合完备化的一个方法：设M是欧氏平面R2的一个凸体，记凸体M的边界为∂M，如果任意选取两点x1,x2∈∂M，使得‖x1-x2‖=δ(M).此时，令H是一个过原点的超平面，H+和H-分别是由过点x1和x2的直线确定的两个闭半平面.构造两个集合Ma和Mb：

Ma=(η(M)∩H+)∪(θ(M)∩H-)，

Mb=(η(M)∩H-)∪(θ(M)∩H+)，

式中：η(M)和θ(M)分别表示M的宽球包和紧球包(详见定义2)，则Ma，Mb是M的两个完备化集.

2007年，Lachand-Robert和Oudet在文献[12]中也利用过凸体直径的超平面得到了将欧氏空间Rn中的集合完备化的一个方法.Papini和吴森林教授将Lachand-Robert和Oudet的构造方法进行了推广并证明了如下结论[4]：设H是Banach空间X中的一个过原点的超平面，H+和H-是由H确定的两个闭半平面，如果集合M满足条件

δ(η(M)∩H+)=δ(M)=δ(η(M)∩H-)，

集合M1满足条件M⊆M1⊆η(M)-，则MC=η(M1)∪η(η(M1)+)-，并且MC是M和M1在X中的完备化集.

不难发现，Bavaud,Lachand-Robert和Oudet以及Papini和吴森林教授都是从低一维的完备集出发去构造高一维的完备集.本文将在文献[4]中构造法的基础上，用任意子空间替代超平面，把Papini和吴森林教授的构造法推广到高维的Banach空间中.

1 预备知识

设X是实Banach空间，用BX和o分别表示其单位球和原点.对于任意的x∈X，γ>0，BX(x,γ)=γBX+x表示以x为球心，γ为半径的单位球.若M是X中的任意一个有界集，则称

δ(M)=sup{‖x-y‖:x,y∈M}

为M的直径.符号intM,convM，∂M和clM分别表示M的内部、凸包、边界和闭包.对X中任意不同的两点x和y，用[x,y],[x,y〉和〈x,y〉分别表示点x和y之间的线段，以点x为端点且过y点的射线和过点x和y的直线.

定义1[4]设K是Banach空间X中的任意一个有界闭凸集，若对于任意的x∈XK，都有

δ(K∪{x})>δ(K)，

则称K是一个(直径)完备集.

定义2[4]设K是Banach空间X中的任意一个有界闭凸集，若K0是X中的一个完备集，并且满足K⊆K0，δ(K)=δ(K0)，则称K0是K的一个完备化集.

完备集的特征及性质通常借助于集合的宽球包和紧球包来进行研究.

定义3[4]设M是Banach空间X中的一个有界集，集合

称为M的宽球包.集合

称为M的紧球包.

由文献[13]可知，对任意a∈M，x∈η(M)，有‖x-a‖≤δ(M).此外，η(M)还有另一种表述：

从而对任意x∈θ(M)，y∈η(M)，有‖x-y‖≤δ(M).

根据定义，η(M)和θ(M)有以下性质(详见文献[14-19])：

1)η(M)，θ(M)都是凸体；

2)η(M)和θ(M)分别表示M的所有完备化集的并集和交集；

3)M⊆θ(M)⊆MC⊆η(M)，其中MC为M的任一完备化集；

4)δ(M)=δ(θ(M))≤δ(η(M))；

5)M是完备的当且仅当η(M)=M；

6)若M1⊆M2，并且δ(M1)=δ(M2)，则η(M2)⊆η(M1)，θ(M1)⊆θ(M2).

2 主要结果

本节将在文献[4]的基础上给出完备集的两种构造法，分别是对Bavaud构造法和Lachand-Robert及Oudet构造法的推广.

2.1 Bavaud构造法的推广

设X是n(n≥2)维的Banach空间，V是Banach空间X中的任意子空间，H是X中包含原点的一个超平面，且V⊂H.令K是子空间V中的一个集合.用H+，H-分别表示由H确定的闭半空间，令

η(K)+=η(K)∩H+，η(K)-=η(K)∩H-，

θ(K)+=θ(K)∩H+，θ(K)-=θ(K)∩H-，

并且

Ka=η(K)+∪θ(K)-，Kb=η(K)-∪θ(K)+.

显然，K⊆Ka∪Kb.

若K满足δ(η(K)+)=δ(K)=δ(η(K)-)，则称K满足条件(dc).

定理1 设K是子空间V中的一个集合，H是Banach空间X中包含原点的一个超平面，且V⊂H.K0是一个不一定为凸的集合且满足K=K0∩H，δ(K)=δ(K0).如果K满足(dc)，那么(K0)a和(K0)b不仅是K的完备化集，同时也是K0的完备化集.

证明这里只证(K0)a是K和K0的完备化集的情形，(K0)b的情形类似.由于K0⊂(K0)a，从而有δ(K0)≤δ((K0)a).故要证δ(K0)=δ((K0)a)，只需要证明δ(K0)≥δ((K0)a).对任意的x,y∈(K0)a，若x,y∈η(K0)+，由于η(K0)⊆η(K)，所以

‖x-y‖≤δ(η(K0)+)≤δ(η(K)+)=δ(K).

若x,y∈θ(K0)-，由事实θ(K0)⊆η(K0)，有

‖x-y‖≤δ(θ(K0)-)≤δ(η(K0)-)≤δ(K).

若x，y由超平面H严格分隔开，不妨设x∈η(K0)+，y∈θ(K0)-，从而

‖x-y‖≤δ(K0)=δ(K)，

因此，δ((K0)a)=δ(K0)=δ(K).

下证(K0)a是完备的.设z是X(K0)a中的一点，若z∉η(K0)，则存在w∈K0，使得‖z-w‖>δ(K0)，从而有

δ((K0)a∪{z})>δ(K0)=δ((K0)a).

假设z∈(X(K0)a)∩η(K0)=η(K0)-θ(K0)-，显然z∉θ(K0)，那么存在w∈η(K0)，使得‖z-w‖>δ(K0).又由于δ(η(K0)-)≤δ(η(K)-)=δ(K)=δ(K0)，所以w∈η(K0)+.故

δ((K0)a∪{z})>δ(K0)=δ((K0)a).

从而，(K0)a是完备的.

综上，K⊆K0⊆(K0)a，δ(K)=δ(K0)=δ((K0)a)并且(K0)a是完备的，所以(K0)a是K的完备化集，同时也是K0的完备化集.同理可证(K0)b是K的完备化集，也是K0的完备化集.

2.2 Lachand-Robert和Oudet构造法的推广

Lachand-Robert和Oudet提出了一种更一般和更复杂的构造法，与Bavaud的想法有相似之处.本文将推广Lachand-Robert和Oudet的方法，即从低维的完备集出发去构造任意有限维的完备集.

设K是子空间V中的一个集合，H是包含原点的一个超平面，且K⊂V⊂H.K1是一个不一定为凸的集合且满足K⊂K1⊂η(K)-，令

K2∶=η(K1)+，K3∶=η(K2)-，KC∶=K2∪K3.

根据文献[4]，显然有K1⊆K3.

定理2 设V是Banach空间X中的子空间，H是X中包含原点的一个超平面，设K⊂V⊂H.如果K满足

(dc):δ(η(K)+)=δ(K)=δ(η(K)-)，

集合K1满足K⊂K1⊂η(K)-，那么，由

K2∶=η(K1)+，K3∶=η(K2)-，KC∶=K2∪K3，

可知KC不仅是K的完备化集，也是K1的完备化集.

证明由K⊂K1⊂η(K)-，有

δ(K)≤δ(K1)≤δ(η(K)-)=δ(K)，

即δ(K)=δ(K1)，从而η(K1)⊂η(K).又

K=K∩H+⊆K1∩H+⊆η(K1)∩H+=

η(K1)+=K2，

有

δ(K)≤δ(K2)=δ(η(K1)+)≤

δ(η(K)+)=δ(K)，

即δ(K)=δ(K2)，从而η(K2)⊂η(K).而K⊆K2⊆η(K2)意味着

K=K∩H-⊆K2∩H-⊆η(K2)∩H-=

η(K2)-=K3，

所以，δ(K)≤δ(K3)=δ(η(K2)-)≤δ(η(K)-)=δ(K)，即δ(K)=δ(K3).因此，

δ(K)=δ(K1)=δ(K2)=δ(K3).

由于K⊆K2且K⊆K3，所以K⊆K2∪K3=KC，从而δ(K)≤δ(KC).故要证δ(K)=δ(KC)，只需证δ(KC)≤δ(K).对任意的x,y∈KC，若x,y∈K2或x,y∈K3，此时‖x-y‖≤δ(K).不失一般性，不妨假设x∈K2，y∈K3，那么y∈η(K2)，从而‖x-y‖≤δ(K2)=δ(K).

下证KC是完备的.设c∉KC.若c∈H-，那么c∉η(K2)，因此，存在点y∈K2，使得‖c-y‖>δ(K2)=δ(K).若c∈H+H，那么c∉η(K1).而η(K3)⊆η(K1)意味c∉η(K3)，因此，存在点z∈K3，使得‖c-z‖>δ(K3)=δ(K).这就得到了δ(KC∪{c})>δ(K)，从而说明了KC是完备的.

综上，K⊆K1⊆K3⊆KC，δ(K)=δ(K1)=δ(KC)并且KC是完备的，因此，KC不仅是K的完备化集，也是K1的完备化集.

事实上，如果K⊂V⊂H且K满足条件(dc)，则K的所有完备化集都可以根据Lachand-Robert和Oudet的构造法得到.

定理3 设V是Banach空间X中的子空间，H是X中包含原点的一个超平面，K是子空间V中的一个集合，即K⊂V⊂H.如果K满足

(dc):δ(η(K)+)=δ(K)=δ(η(K)-)，

那么，K的所有完备化集都可以由定理2的方法得到.

证明假设C是K的一个完备化集，由定义有K⊆C，δ(K)=δ(C)并且C是完备的.那么C=η(C)⊆η(K).令K1=C∩H-，则

K=K∩H-⊆C∩H-=K1⊆η(C)∩H-=

η(C)-⊆η(K)-，

即δ(K)≤δ(K1)≤δ(η(K)-)=δ(K)，从而δ(K1)=δ(K)=δ(C).

设K1，K2是由构造法K2∶=η(K1)+，K3∶=η(K2)-，KC∶=K2∪K3得到的集合.由K1⊆C有η(C)⊆η(K1).因此，

C∩H+=η(C)∩H+⊆η(K1)∩H+=K2，

从而C=(C∩H+)∪(C∩H-)⊆K2∪K3.又C和K2∪K3都是完备的，故C=K2∪K3.