徐 珂，段博韬

(淮北师范大学 数学科学学院，安徽 淮北 235000)

0 引言

若n维欧氏空间Rn中一个内部非空的紧凸集，其任意一对平行的支撑超平面之间的欧氏距离均等于该集合的直径，则称该凸集为等宽集.显然，Rn中的球都是等宽集.此外，Rn中还有许多异于球的等宽集，关于Rn中等宽集的相关问题和结论详见文献[1-3].Rn中等宽集的概念可以通过不同的方式推广到一般的Banach空间中，其中常见的Banach空间中常宽集的定义方法如下[4]：设X*是Banach空间X的共轭空间，M是X中的一个有界闭凸集，集合δ(M)={‖x-y‖:x,y∈M}表示M的直径.若对任意的单位泛函f∈X*，有

sup{f(z)∶z∈M-M}=δ(M)，

则称M是X中的一个等宽集.当X的维数有限时，有限维Banach空间中中心对称的等宽集只能是球；当X为无限维Banach空间时，该结论未必成立[5].

Banach空间完备集的概念最早是由Meissner在1911年研究Rn中的等宽集时给出[6]的(详见定义1).自此以后，有关完备集和其特征及性质的研究一直受到学者们的广泛关注[7-9].1958年，Eggleston 给出了在n维欧氏空间Rn中将集合完备化的方法，并且提到任何一个有界集都包含在一个与之直径相同的等宽体中[10].利用Eggleston构造法的思想，Papini和吴森林教授给出了在可分的Banach空间中将内部非空的有界闭凸集完备化的一种方法，但该方法需要无穷次迭代[4].

现有的一些完备集的构造方法通常都要利用过凸体直径的超平面，将凸体分割再进行完备化，其中Bavaud在文献[11]中研究得到了将欧氏平面R2中的集合完备化的一个方法：设M是欧氏平面R2的一个凸体，记凸体M的边界为∂M，如果任意……