李瑞芳，杜 浩，高晨霞，梁钰婧，刘乐佳，曹晓斌

0 引言

我国高速铁路雷击事故多有发生，尤其在山区偏远地区，做好防雷工作的必要性不言而喻[1～3]。研究落雷分布等雷电活动情况是进行雷电防护研究的理论基础，在不同地形情况下，落雷分布存在一定差异性。高原及高山等高海拔地区落雷较多，而平原等低海拔地区落雷则较少，即使同样是山区，山坡、山顶或山谷之间落雷密度也不尽相同。由于不同地形地区落雷分布的差异性，研究地形对落雷分布的影响，对高铁差异化防雷有着重要的指导意义[4～10]。

关于地面落雷分布的有关研究，目前国内外主要是依靠雷电定位系统提供数据再进行统计分析，适用于大范围的落雷密度统计，对于某个山区小范围难以估计其落雷密度，故需要对小范围的落雷密度进行理论研究。

地形边界的静电场问题分析可采用有限元法和保角变换法。有限元法适用于绝大多数复杂边界的求解，缺点是计算时间长，重复性工作量大[11]，因此研究保角变换法解决静电场问题很有必要。保角变换法采用数学公式将所求问题表现出来，直观地反映了各物理量的相互关系，计算速度快[11，12]，该方法在电磁理论、传热学、粒子物理、凝聚态理论等方面具有广泛的应用[13～16]。本文在已有研究成果的基础上，对对称山体形状的保角变换进行拓展验证，得到不对称地形的保角变换公式，并研究保角变换参数与地形参数之间的数学对应关系。采用雷电先导理论并结合保角变换法建立雷击仿真模型，在不同地形条件下进行落雷分布仿真，对比分析不同地形条件下落雷分布的差异性。

1 保角变换法解决静电场问题

1.1 保角变换与拉普拉斯方程

设ω=f(z) (ω=u+ iv，z=x+ iy)是区域内处处解析的函数，则其具有以下特征：

式（3）、式（4）说明u及ν均能满足二维空间笛卡尔坐标的拉普拉斯方程式。因此，如果函数φ(x,y)在z平面上满足拉普拉斯方程，通过保角变换ω=f(z)后，在ω平面上变成u，ν的函数φ(u,v)，该函数仍满足拉普拉斯方程。

在平面无源静电场中，电位函数总是满足拉普拉斯方程，且由E= −∇φ可知，等位线和电场力线总是正交的，如果u=c1代表等位面的方程，那么ν=c2代表的即为电力线的方程；反之，如令ν=c2代表等位面方程，那么u=c1即为电力线方程。正是由于解析函数与电位函数的这种对应关系，使得可以采用保角变换法解决静电场问题[17，18]。

1.2 地形边界的静电场问题

如果z平面上场域的边界较为复杂，例如山脊、山谷等实际地形，使给定的二维拉普拉斯方程所描述的边值问题求解发生困难，可以采用保角变换法将z平面复杂的地形边界形状的场域变换为ω平面的水平边界形状的场域，使变换后ω平面上的场域的边值问题可以较容易求得。

设ω平面上电位函数为φ(u,v)，通过解析函数ω=f(z)的关系式变回到z平面的量φ[u(x,y),ν(x,y)]，此时该电位函数φ[u(x,y),ν(x,y)]即为变换前位场的解[19，20]。对于典型的二维地形边界（轴对称山形），常采用如下变换公式：

2 二维地形参数与保角变换参数对应关系

典型二维地形主要由山谷和山脊组成，下文只对山脊进行分析，山谷的分析方法与之类似，不再阐述。

2.1 对称山体形状参数研究

图1 山脊形状示意图

2.2 不对称地形的保角变换研究

实际的地形呈现不对称、具有一定坡度倾斜、山谷与山脊相连接的特点[21]，典型二维山形的保角变换并不能满足实际要求。考虑将保角变换公式ω

由表1 可知，增大D的角度，山脊特征逐渐 减弱，山谷特征逐渐显著，90°时完全变为山谷。

表1 参数D 的相角对山体形状的影响

由表2 可知，随着参数D幅值的增大，山脊高度与山谷深度也会增加，山体形状几乎不变。当参数D的幅值增加到某一值时，式（9）的解会出现复数，这时需要减小参数D的角度或增大水平面高度即参数c的值进行调整。

表2 参数D 的幅值对山体形状的影响

令d= 100，c= 10，即水平面高度为10，研究参数D的相角和幅值对山体形状的影响，分别如表3 和表4 所示。

表3 参数D 的相角对山体形状的影响

表4 参数D 的幅值对山体形状的影响

由表3 可知，随着参数D的相角逐渐增大，山体逐渐倾斜，山体倾斜角度等于参数D的相角；山脊高度会略微减小，但可以忽略不计，山顶点位置会往右侧偏移，山体形状基本保持不变。

由表4 可知，当参数D的幅值增大时，山脊高度会减小，山顶点位置会略微往左偏移；山形旋转角度保持不变。

3 不同地形条件下的落雷分布

3.1 对称地形落雷分布仿真与分析

前述章节叙述了保角变换公式的性质，推导并验证了仿真需要用到的保角变换公式，保角变换法用于计算雷击线路发展过程中的电场分布[22]。本节基于保角变换算法，与雷电发展的分型先导法以及模拟电荷法相结合，通过建立对称地形落雷分布计算模型对落雷分布进行模拟，并分析仿真结果。

图2 单次对称地形落雷分布仿真曲线

在之前已建立的仿真模型的基础上再添加一个2 000 次的循环，在每次运行结束后记录计算得到的雷电在山体上的落点坐标，并继续运行下一次，直到运行完成整个循环，得到2 000 次的计算结果。将仿真结果按照落点的横坐标范围划分得到直方图，如图3 所示。

图3 落雷分布直方图

从预先设置好的对称地形雷电落点的计算结果来看，2 000 次计算中有97.6%以上是落在横坐标430～570 之间的区域，这就意味着在山高为410，山半高宽为142 的对称山体模型情况下，基本上可以认为雷电基本上全部落在山体的上半部分。借助直方图可以看出，绝大部分的落雷点集中在山尖部位。

基于Origin 软件使用非线性拟合公式对数据进行处理，将直方图中的横坐标范围取中间值作为自变量，将频率作为应变量导入Origin 中，由于该落雷分布大致呈正态分布，因此选择非线性拟合公式为高斯公式：

得到图4 所示的散点图以及非线性拟合得到的曲线。表5 所示为拟合曲线参数。

图4 高斯拟合得到的落雷分布曲线

表5 拟合曲线参数

从Origin 给出的拟合曲线不难看出，在所建立的山体模型中，落雷分布集中于横坐标为450～550的区域，同时其余区域落雷几率几乎为零。在表5给出的拟合参数中，需要着重关注的是调整后R平方，由回归分析相关知识可知，调整后的R平方值为0.979 82，同时R平方为0.983 86，两者之间的差距非常小，都非常接近于1，这表明得到的回归模型的精度非常高，即雷电在对称地形中的落点分布满足高斯公式。

3.1.1 参数d对落雷分布的影响

首先固定参数c，改变参数d，并使用Matlab分别绘制出d为500、450、400、350、300 时的模型，如图5 所示。从图中可以看出，随着d值的减小，山脊的高度也随之降低，即d值主要决定了模型的高度。

图5 不同d 值时的山形

为了研究d值对落雷分布的影响，将以上5 个参数的模型各进行2 000 次的落点计算仿真，为验证雷电分布是否在d值大时更集中，求出各个模型雷电分布的拟合曲线标准差（表6）。

表6 不同d 值时拟合曲线标准差

表6 中，随着d值的减小，其标准差不断增大，即曲线的离散程度越大。曲线的离散程度越大意味着落雷的分布越分散，击中模型顶部的几率降低。

3.1.2 参数c对落雷分布的影响

固定参数d，将参数c分别设为140、120、100、80、60 绘制出图6 所示模型，以讨论参数c对于模型形状的影响。图6 中，5 个模型从上到下代表着参数c由大到小变化，随着参数c的减小，模型的地平面也越来越低，同时形状也越来越尖锐。c值对于模型的影响较d值来说更侧重于影响模型的宽度以及对于地平面的影响侧面降低或者增高了模型的高度。将参数c的5 个值时的模型各进行2 000 次仿真。

图6 不同c 值时的山形

同样将各个模型的仿真结果标准差制作成表格（表7）。

表7 不同c 值拟合曲线标准差

从表7 可以看出，随着参数c的增大，拟合曲线的标准差显著增大，即随着模型宽度的增大，雷电的分布越来越分散，但是当模型的宽度较小时，雷电的分布又不会必然落在模型的正中间，这是由前述章节中雷电先导发展的随机性所导致。当c值减小时，概率密度函数曲线峰值升高，曲线宽度减小，落雷分布离散程度减小，分布密集。

3.2 不对称地形落雷分布仿真与分析

对于不同的地形，需要将之前建立的仿真程序进行一定修改，以山谷山脊混合地形为例进行分析。首先将前述小节中求出的u和v关于x和y的表达式代入所建立模型的电场计算部分中，再将山体模型建立程序替换为山谷山脊混合模型的程序，同时添加相同的雷电参数，保角变换参数设置为D= 260 + 150i，c= 200，运行1 次仿真之后得到如图7 所示结果。

由图7 可以看出，雷电先导的发展依旧是曲折的，与对称地形所展示的效果一致。为研究山谷山脊混合地形中落雷的大致分布情况，将程序设置为循环计算2 000 次，得出结果后进行统计，并导入Origin 软件中绘制出散点图，同时依旧使用高斯方程对数据进行拟合，得到图8 所示曲线，拟合曲线参数见表8。

表8 拟合曲线参数

图7 单次山谷山脊混合地形落雷分布

从图8 所示曲线下半部分可以看出，高斯分布曲线的数学期望已经与对称地形的分布不同，发生了一定的偏移，不再是处于横坐标为500 的位置。从图8 的散点分布来看，落雷更多分布在了山谷山脊交界处，而不是单纯集中在山脊的位置。同时根据调整后的R平方来看，高斯分布的拟合效果已经不再像对称地形那么好，可以看出，不同地形对于落雷分布的影响较大。

图8 D = 300∠30°，c = 200 的地形及拟合曲线

4 结论

（1）对对称山体的保角变换公式进行了深入计算，给出了对称地形的保角变换参数与地形参数之间的数学对应关系。通过数学计算，可以达到已知实际测量的山体形状参数（如山高、山宽等）求得与该山体形状相对应的保角变换参数c、d，进而利用保角变换函数解决相应的地形边界条件下的静电场问题。

（2）根据复变函数的相关知识，对对称山体形状的保角变换函数进行拓展、变式，得到了不对称地形的保角变换函数，并进行了柯西-黎曼条件验证。

（3）对于对称山体形状的保角变换参数c、d，通过分析计算可知：d值增加，山体的高度显著增加，宽度缓慢增加，山变高而窄，山形逐渐耸立；c值增加，山体的宽度显著增加，高度略微减小，山体变矮而宽，山形逐渐平缓。参数d主要控制山体高度，参数c主要控制山体的宽度。可以改变参数c和d，使保角变换函数所描绘的山体形状与实际计算所需要的山体形状相吻合。雷电的分布会随着c值的增大而不断分散，落雷分布概率密度函数曲线的标准差也越来越大。增大d值会使得山体变得高而尖，落雷的分布则更为密集地集中于山体的高处，概率密度函数曲线的标准差越来越小。

（4）在山谷山脊混合地形中，落雷分布已经不完全满足正态分布，主要原因是落雷很大一部分集中在了山谷山脊交界处，并且随着模型的山谷山脊特征变明显，落雷分布的离散程度也更小，主要集中在山脊部分，小部分落在山谷山脊交界处。