钟家伟，凌婷婷，刘树德

(安徽信息工程学院，安徽 芜湖 241000)

1 引 言

在工程技术和科学问题的应用领域中，会出现各种边界层和内层现象。由于问题的非线性、非均匀性和边界条件的一般性，人们通常只能求其近似解，而各种摄动方法则是求近似解的有力手段。通过对边界层或内层的构造，有助于弄清解的解析结构，更重要的是能够提供有效的近似解。

有许多方法可用于处理出现边界层和内层现象的奇摄动问题，其中角层问题通常运用微分不等式理论和方法。[1-3]通过构造适当的不等式，对所论问题的解作出先验估计。但该方法仅给出精确解与退化解之间的一个估计，未能构造出具有角层性质的校正项。

为此，本文考虑改用匹配渐近展开法。[4-9]先确定角层的位置，求出两个不同尺度的内、外展开式，其中每一个展开式在一部分区域上有效，并使相邻展开式的有效区域相互重叠，然后按匹配原则进行匹配，形成在整个区间上一致有效的复合展开式，从而得到该问题具有角层性质的近似解。

2 主要结果

考虑如下形式的二次边值问题

εy″=f(x)(1-y′2)，0

(1)

y(0)=A，y(1)=B

(2)

其中:ε>0为小参数;f(x)为区间[0，1]上的光滑函数且f(x)>0;A，B为给定常数满足|A-B|<1。

先确定问题(1)，(2)内层的位置。设外展开式为如下幂级数形式

y(x)～y0(x)+εy1(x)+…

(3)

将(3)代入(1)，由ε0系数相等得退化方程

(4)

的情形。容易求出

分别是方程(4)满足边界条件y(0)=A和y(1)=B的解。外部解的零次近似可取为

由于

因此问题(1)，(2)的解在x=x0处出现角层现象，即当ε→0时，在x=x0附近急剧的变化不是发生在解的本身，而是在它的导数上。具有……