李云翔，徐思奥，潘向峰

(安徽大学 数学科学学院，合肥 230601 )

1 引 言

设G=(V(E),V(G))是顶点集V(G)={v1,v2,…,vn}和边集E(G)={e1,e2,…,em}的简单连通图。在图G中，传统的顶点vi和vj之间的距离记为dij，指连接它们的最短路径的长度。距离是图论中的一个重要不变量，由它导出了许多基于距离的不变量。其中较为著名是Wiener指数[1]，记为W(G)，它是指G中所有顶点对之间距离的和，即

类比于Wiener指数，图G的基尔霍夫指数Kf(G)定义为图G中所有顶点对之间的电阻距离之和[2]，即

(1)

随着基尔霍夫指数研究的不断深入，当把两端点度的大小加入考虑因素之中时，随即产生了度积基尔霍夫指数和度和基尔霍夫指数.Chen和Zhang在 2007 年提出了度积基尔霍夫指数[6]，定义为

(2)

Gutman等人在2012年提出了度和基尔霍夫指数[7]，定义为

(3)

目前，有关电阻距离计算方法有很多，如串并联原理，星-三角变换[8]、消去原理[2]、星网变换[9]、概率公式[10]、组合公式等[11]、代数公式[12-13]。基于上述方法许多特殊图的电阻距离被计算出来，如线性2-树[14]、盆栽网络[15]、硅酸盐网络[16]等。

图的基尔霍夫指数与图的拉普拉斯特征值具有紧密的联系，其数值可以通过图的拉普拉斯特征值求得[17]，对于大部分难以给出拉普拉斯特征值的图，其基尔霍夫指数的求解还较为困难。由于树的基尔霍夫指数与维纳指数是相同的，因此研究带有圈结构的基尔霍夫指数便显得有价值，如杨玉军等人研究了单圈图的基尔霍夫指数。[18]许多结构更为复杂的图也被研究，如给定直径的二部图[19]、广义电晕图[20]、线性交叉四角链[21]等。

线性链系统是由一些具相同结构的平面图组合而成的线性状图类，是一类很重要的图，它和一些化学分子结构有着紧密的联系，如苯类烃，直线状多环芳烃等。……