冯德成，鲁雅莉，蔺 霞

西北师范大学 数学与统计学院，兰州 730070

1 预备知识

定义1设{Sn，n≥1}是L1(Ω，F，P)上的随机变量序列，如果对任意1≤i≤j<∞，有

E[(Sj-Si)f(S1，…，Sn)]≥0

则称随机变量序列{Sn，n≥1}是一个弱鞅(demimartingale)，其中f是使上述期望存在且分量不减的函数．若进一步假设f是一个非负函数，则称{Sn，n≥1}是一个弱下鞅(demisubmartingale)．

弱鞅的概念最先是由文献[1]提出的，之后很多学者对弱(下)鞅进行了研究，给出了弱(下)鞅的一些概率不等式以及这些不等式的应用[2-12]．

对于零均值的平方可积随机变量X和任意函数ε，有

文献[2]进一步推广，对任意函数ε

(1)

在上述条件下，如果令

那么{Sn，n≥1}就是一个鞅．文献[4]在E|Xi|p<∞，i≥1，且p≥2的条件下，将(1)式推广，对于任意ε>0，得到如下形式的Marshall型不等式

其中α是下列函数的最大值

h(x)=1-x+(1-x)2-qxq-1，x∈[0，1]

之后，文献[5]将文献[4]中的若干结论推广到弱鞅的情形下，得到了弱鞅的Marshall型概率不等式．文献[14]将文献[5]中关于非负弱鞅{Sn，n≥1}的Marshall型极小值不等式推广到了形如{g(Sn)，n≥1}的弱鞅的情形．

受文献[5]和[14]的启发，本文将文献[5]和[14]中关于非负弱鞅{Sn，n≥1}的Marshall型极小值不等式推广到{cng(Sn)，n≥1}的情形下，其中g是R上不减的凸函数，{cn，n≥1}是R上不增的正数序列．

2 弱鞅的Marshall型极小值不等式

引理1[13]若E|X|p<∞，E|Y|q<∞，则

(2)

(3)

引理2[15]设{Sn，n≥1}是一个非负弱鞅，g(·)是一个不减的凸函数，使得g(0)=0，且对任意的n≥1，有Eg(Sn)<∞．{cn，n≥1}是一个不增的正数序列，那么对任意n≥1，ε>0，有

(4)

引理3设{Sn，n≥1}是一个非负弱鞅，g(·)是一个不减的凸函数，使得g(0)=0．若00，有

(5)

证记Y=IA，运用Hölder不等式(3)和引理2，可以得到

(6)

由于

E|Y-EY|q=P(A)(1-P(A))q+P(A)q(1-P(A))

原命题得证．

定理1设{Sn，n≥1}是一个非负弱鞅，{cn，n≥1}是R上不增的正数序列，g(·)是R上不减的凸函数，且g(0)=0．若存在00有

(7)

(8)

其中M1，M2是下面方程的正解，且M1≤M2，

xq=(β-1)x+β，x∈(0，+∞)

(9)

其中

当P(A)>0时，通过引理3可以得到：

两边同时除以P(A)q，有

即有

从而有

因此有

即有

(10)

不难发现

若在定理1中，令cn≡1，那么就有以下推论1．

推论1设{Sn，n≥1}是一个非负弱鞅，g(·)是R上不减的凸函数，且g(0)=0．若存在00，那么对于任意ε>0有

其中M1，M2是方程(9)的正解，且M1≤M2，其中

若在定理1中，取cn≡1，g(x)=x，则又有以下推论2．

注推论1是文献[14]中的定理3.1，推论2是文献[5]中的定理2.2，因此本文中的定理1是文献[14]中定理3.1和文献[5]中定理2.2的推广．