孟 凡，柳 扬，王 欢，闫起材

石家庄铁道大学信息科学与技术学院，河北 石家庄 050043

引 言

近年来，波长探测作为科学技术中的一个基本工具，已被广泛应用于分析化学[1-2]、生物传感[3-4]、材料分析[5]以及光学通信[6-8]等众多领域，光谱分辨率、工作带宽和器件尺寸是衡量探测性能的三个重要指标。传统的波长计是通过色散组件分离到对应探测器位置[9-10]或不同谐振腔选择对应谐振分量[11-13]来进行波长标定，直接从空间通道即可得到对应的频谱分量。随着光学器件的高性能和集成化发展，基于模式干涉效应的高性能光谱计浮出水面[14-18]。该模式干涉来源于同一波长的多个传输模式间耦合效应，总强度图案是每个模式电磁场分布的矢量叠加和，传播常数差会随着传输距离增加逐渐积累，并产生以2π为周期的强弱分布。通过采用探测器收集波长依赖的干涉图案，得到每个波长唯一对应的指纹特征，最后将待测信号图案进行光谱重建实现光谱探测。这种机制通过引入更多模式(增加基模与高阶模传播常数差)来解决积累可探测相位差的问题，在提升探测性能的同时可以极大缩小器件的物理尺寸。Redding等[16]使用无序光子晶体中依赖于波长的散射干涉图案，在半径为25 μm尺寸实现了0.75 nm的分辨率和25 nm的工作带宽，探测指标不够理想。Paudel等[18]提出了基于片上集成马赫-曾德干涉仪的傅里叶变换光谱计，在达到140 MHz光谱分辨率和12 nm工作带宽的同时，需要繁琐的制备工艺。因此，在微纳器件中同时实现分辨率、工作带宽和探测效率优异的波长探测始终是人们追求的目标。

本文设计并实现了基于锥形多模光纤的波长计，拉制多模光纤形成的锥形区域与共焦显微系统和可见光相机相集成，后者可收集得到强烈依赖波长变化的模式干涉图案。在光信号波长精细扫描得到的包含丰富细节图像中，内积相关性运算联合主成分分析法可以高效处理频谱通道和空间通道构成的庞大数据量。在400～700 nm的工作带宽内，计算粗略校准矩阵的内积相关性可以初步实现精度为1 nm的波长探测；在此基础上，采用主成分分析法可将分辨率提高到20 pm，波长探测准确率达到96.7%。该算法不仅具有较高的波长探测精度，运算效率也比传统重建算法提升近50倍。该器件尺寸为π×(20 μm)2×0.5 mm，具有高性能、便携式和低成本等优势，为基于光纤传输系统的波长实时探测提供了可能途径。

1 基于主成分分析法的波长探测模型

1.1 理论模型

波长为λ的单色光入射进直径为D、数值孔径为NA的多模光纤后，将激发出具有不同传播常数βm, n的一系列模式[15-17]，各模式电磁场分量满足麦克斯韦方程组，利用边界条件求解得到模式数目和传播常数分别为

(1)

(2)

I(λ,x,y)=|E(λ,x,y)|2=

(3)

这里Am, n(x,y)和φm, n(x,y)分别为(x,y)处相应(m,n)模式的初始振幅和相位，由实验装置耦合及偏振条件决定。由于全反射条件的破坏，光纤锥形区域辐射的模式干涉图案与波长值强烈相关，为基于主成分分析算法的波长探测提供了理论基础。

波长的探测过程共分为两个步骤，如图1(a)所示原理图：在工作带宽内粗略扫描(步长为纳米量级)单色光波长(λc1,λc2, …,λcm)得到一系列二维光强分布图像，每张图像进行区域截取和向量拼接成为一维行向量，再按照波长顺序排列成二维矩阵得到粗略校准矩阵。待测信号产生的强度图像经过降维处理后与之进行内积相关性运算，选取数值最高的波长值作为预估波长单元λci，大致定位到待测信号波长范围。在每个预估波长单元中，采用可调谐窄带激光器扫描(步长为皮米量级)波长得到精细校准矩阵，如图1(b)所示，精细波长λfj与空间位置构成了庞大的数据集，蕴含着频谱信息到空间位置的复杂映射关系。

图1 (a)两步法探测波长原理图，待测信号通过内积相关性运算定位到粗略波长单元，再经过主成分分析算法进一步确定精细波长；(b)波长探测示意图：工作带宽分为m个粗略波长单元，每个粗略波长单元进一步分为n个精细波长值

在粗略波长单元中，将每个波长λfj(j=1, 2, …,n)的二维强度分布按相同方式逐行拼接为一维特征向量Λj=[x1,x2, …,xN]，以波长序号排列得到维度为n×N的精细校准矩阵C，进一步求解协方差矩阵C′=CTC/(N-1)，表征了波长变化引起不同位置强度变化的统计特性。此时，求解C′特征向量得到主成分空间的一组完备正交基，即P=P1,P2, …,PN:Pi∈RN；与之对应的本征值与具体波长值相关，它决定了后面主成分的排序。任意探测波长λfj形成的光强图像可以表示如式(4)

Λj=c1jP1+c2jP2+…+cNjPN

(4)

考虑到主成分基向量的归一性，系数为特征向量在相应基向量上的投影

Cij=PiΛj

(5)

对于探测信号来说，只有少数主成分占据主导地位，且选取数量与探测效率相互制约。在这里，选取三个最大主成分并定义与波长λfj的欧式距离

(6)

选取与最短距离对应的波长值为探测波长。

1.2 实验系统

基于锥形多模光纤的波长探测系统如图2(a)所示，各种类型激光光源(包括超连续谱光源NKT SuperK Extreme+单色器Acton SP2500、<10 MHz窄带可调谐激光器等)通过特定光纤组合(固定偏振状态和提高信噪比)将单一模式、偏振态固定的光信号传输到已封装的锥形多模光纤中，确保初始振幅和相位不变。该信号在多模光纤中发生模式色散和干涉效应，而锥形区域的引入破坏了全反射条件并将干涉图案沿径向辐射。可见光CCD相机(Photometrics CoolSNAP K4，像素数：2 048×2 048，像素尺寸：7.4 μm×7.4 μm)前置放大倍数为17×、数值孔径为0.4的显微物镜，在充分利用探测区域的同时捕捉尽可能多的图像细节。笔记本电脑同时控制激光光源和可见光相机，在不同波长处收集相应干涉强度图像进行存储。三维压电扫描台上的锥形多模光纤通过氢气焰流拉制多模裸光纤(型号：AFS105/125y)制备，锥形区域总长度为3 mm。如图2(b)所示为输入不同波长的单色光信号(450 nm蓝光和635 nm红光)在不同锥形区域(光纤直径：20，50，60和90 μm)形成的干涉图像，具有很强的波长和尺寸依赖性。

图2 (a)基于锥形多模光纤波长探测的实验装置图；(b)不同区域和入射波长的锥形光纤辐射图像，标尺：100 μm；传输模式数关于(c)光纤直径和(d)入射波长的变化曲线

为了进一步分析解释强度干涉图像的内在机制，如图2(c)和(d)所示为传输模式数关于光纤直径和输入波长的变化曲线。结合式(1)可知，较大直径波导和较短入射波长均会引入更多模式，可以增加高阶模与基模的传播常数差，在相同器件长度下，积累到更大相位差ΔΦ=ΔβL(其中Δβ为传播常数差，L为传输距离)。而器件的光谱分辨性能直接由可探测相位差决定，因此传输模式数直接影响了光强干涉图像的细节程度，也反映了锥形光纤对波长变化的灵敏度。在该波长范围内，多模光纤对于不同波长值支持模式数不同，会产生依赖波长值的模式干涉图案。在器件参数优化方面，直径较大的锥形区域在短波长范围具有更好的效果，这里我们主要选取直径为40 μm、波长为635 nm的参数组合，大约有350个模式被激发并相互干涉。

2 性能指标测量与分析

如图3所示，当输入波长为635 nm时，在不同锥形区域(光纤直径分别为40，50和60 μm)沿光纤轴线提取强度干涉图像，明显观察到类似周期性分布。与高品质因数的谐振腔不同，该结构可对其工作带宽内的波长分量进行相位差积累，并形成细节丰富的频谱特征，包括传导谐振产生的尖锐峰值、法布里-珀罗谐振产生的宽谱背景变化和法诺干涉产生的不规则形状等。这种频谱特征与尺寸参数和信号波长密切相关，可以视为单色光波长信号的独特空间编码。随着直径的增大，一方面参与干涉的模式数急剧增多(增长率约20个·μm-1)，另一方面反射路径变长，两者都会导致空间周期变短。这里通过拍长Δz=2π/Δβ进行描述：由于Δβ/β远小于1，可以用准直波导和线性增长的传播常数进行模型近似，得到Δz为43 μm。在实验中，根据显微物镜放大倍数和相机像素尺寸进行计算，拍长为41 μm，与估计值基本一致。虽然拍长在微调信号波长值时变化不明显，但局部强度分布仍然有所改变(闪烁现象)，说明充分利用图像细节可以得到更高分辨率，势必引入更多空间信息带来计算冗余度。

图3 不同锥形区域即光纤直径(a)40 μm，(b)50 μm和(c)60 μm下，沿轴线提取的强度分布图

由于模式干涉图案具有强烈波长依赖性，与整个工作带宽对应的校准矩阵可以表征该器件的内在特性。内积相关性反映某个波长与其他波长产生的强度图像间相似程度：归一化后值为0说明两张图像完全不相同；值为1说明图像完全相同；而值在0～1之间说明有一定相似性。这从另一个角度衡量了器件的波长探测能力。采用超连续谱光源+单色器组合的激光光源(带宽1 nm)获取粗略校准矩阵，进行内积运算后可以粗略实现纳米级别的光谱分辨率。这里，对不同结构参数组合的锥形光纤进行测量计算：如图4(a)所示，光纤直径越大，激发出的干涉模式越多，对波长分辨能力就更强(对应半高全宽越小)；如图4(b)所示，探测长度越长，会包含进更多的空间通道作为采样点，波长分辨能力也越强，从实验上印证了理论模型的准确性。在特定参数器件中，扫描信号波长形成的模式干涉图像“闪烁”现象说明空间与波长通道一一映射，内积曲线应当具有较高信噪比。如果选用窄带信号光源、克服工艺不完美性和提升可见光相机性能(如降低像素尺寸、提高量子效率等)，通过内积运算即可达到最优分辨率。综合考虑波长计各项性能指标，选择测量直径为40 μm和长度为500 μm的光纤区域。

图4 测试波长选用635 nm时，内积曲线与锥形光纤(a)直径和(b)长度的关系

采用窄带可调谐激光器634.80～639.40 nm进行步长为10 pm的波长扫描获得精细校准矩阵。随机选取其中两个波长并在不同功率下收集强度图像，经过主成分分析算法可以准确探测出分立的单色光信号，如图5(a)所示，探测结果与校准波长基本吻合。光谱分辨率是衡量光谱器件辨识邻近波长能力的重要指标，定义为重建单色光信号的半高全宽(FWHM)。在此基础上，选取两个相邻波长的强度图像并逐渐增加波长间隔，图像叠加后与精细校样矩阵进行内积运算得到如图5(b)，根据瑞利判据得到分辨率为20 pm，证明该器件具有皮米量级的分辨能力。将一组待测单色光信号同时输入该器件和商用光谱仪(Princeton Instrument SP2500, 分辨率0.26 nm)中，前者通过两步法(内积相关性运算和主成分分析算法)探测波长后，与后者测量结果(校准波长)进行比较，如图5(c)所示：在实验测量过程中，设置激光器632.0～638.0 nm范围、以0.1 nm为步长进行波长扫描，将波长计测量结果作为探测波长并与校准波长进行比较，两者吻合并保持理想的线性关系(为了清楚起见，62个波长值中只选择奇数序号波长值进行展示)。对于波长结果的认定，定义差值超过分辨率一半即10 pm即为探测误差，由测量结果得到波长探测准确率为96.7%，如图5(d)所示，误差主要源于激光器中心波长漂移和器件工艺缺陷。

图5 (a)两个分立单色光信号的探测；(b)波长计分辨率为20 pm；(c)探测波长与校准波长的关系曲线；(d)波长探测结果统计分析图

3 光谱探测应用探讨

基于锥形多模光纤波长计的工作带宽由多模光纤和CCD探测范围共同决定。受限于激光光源种类和参数，实验中仅选择630～640 nm波长范围进行波长探测。考虑到多模光纤传输窗口和硅材料探测曲线，采用超连续谱光源与单色器组合对该范围进行步长为1 nm的粗略扫描，每个波长值均得到单峰内积相关性曲线，说明在该范围内模式干涉图案与波长一一映射，工作带宽达到400～1 100 nm范围。得益于内积相关性和主成分分析联合算法，该锥形光纤波长计不必扫描感兴趣区域以外的精细波长，减少了近50倍数据存储量和重建时间(=1 μm/20 nm)，探测效率(与波长探测时间成反比)较常规重建算法提高近50倍[15-18]。与宽谱连续信号相比，分立窄带信号仅有有限频谱通道，重建时不易遗漏信号分量，该器件更加适合波长探测的应用。在实际应用中，器件的机械性能、温度特性和可重复性至关重要。前两者可以通过固定封装和反馈控制进行克服，而后者主要来自校准光路的漂移和散焦。将1，5和12 h后扫描得到的校准矩阵与初始矩阵进行内积运算，得到如图6所示的内积带宽曲线。较长时间后，光路未经校准的半高全宽增加0.1 nm(变化率为13.8%)，而经校准仅增加0.01 nm(2.5%)，说明可重复性能够通过自动校准系统或将多模光纤与探测器阵列相互集成得到有效改善。

图6 内积带宽随时间变化规律

4 结 论

在基于锥形多模光纤的波长计中，证实了内积相关性运算可以初步实现粗略波长探测，而进一步采用主成分分析法可以实现20 pm的精细探测。利用搭建的显微共焦成像系统，在微纳尺度器件中不仅具有较高波长探测精度，运算效率也较传统算法大大提升。

强度分布图像中的噪声主要包括散粒噪声和暗噪声两种成分。对于散粒噪声，假设探测信号在某波长处光子数为Np，则在每个频谱通道中光子平均数为Np/N，总散射噪声功率为两者乘积平方根，这与光栅光谱仪的散射功率相同；而对于暗噪声，需要在所有空间通道进行积累，对光谱重建作用与信号强弱、探测深度等因素密切相关。将基于锥形多模光纤波长计的性能向极限推进，可行的途径有两个：通过模式干涉图案去相关、降低实验噪声和误差后处理等手段进一步优化探测算法；改善可见光相机性能，如降低像素尺寸和探测噪声、提高量子探测效率等，这将是下一步研究方向。由于锥形多模光纤侧面泄露的信号能量仅占总入射能量的20%～30%，在基于光纤连接和传输的通信系统中，可通过剥皮、拉锥和成像三个步骤进行波长实时探测。