周 颖,张 毅

(1.苏州科技大学 数学科学学院,江苏 苏州 215009;2.苏州科技大学 土木工程学院,江苏 苏州 215011)

Birkhoff力学,作为Hamilton力学的自然推广,是迄今最一般可能的一个力学[1,2]。完整力学和非完整力学均可纳入Birkhoff力学[2]。广义Birkhoff力学[3]是由梅凤翔在Birkhoff系统动力学的研究基础上提出并创建而成,其基础是广义Pfaff-Birkhoff原理和广义Birkhoff方程。微分方程的Birkhoff化有时很难实现,广义Birkhoff方程由于增加了一个可调节的附加项,使微分方程很容易化为广义Birkhoff方程。Birkhoff和广义Birkhoff系统动力学及其对称性研究近十年来有了一些新的进展[4-12]。

分数阶微积分,作为一个有效的数学工具,为描述具有摩擦或其他耗散过程的非保守系统提供了一个新的方向[13-15]。Frederico和Torres[16,17]最早将经典Noether定理及其证明的时间重新参数化方法推广到分数阶Lagrange系统,通过定义分数阶守恒量建立了分数阶Noether定理。Bourdin等[18]给出了分数阶Lagrange系统的离散分数阶Noether定理,通过其提出的“传递公式”将分数阶守恒量表达成显形式。2016年,Frederico等[19]研究并给出Lagrange函数依赖于经典和Caputo导数的非保守系统的Noether定理。但是这些研究都限于分数阶Lagrange系统或分数阶Hamilton系统。分数阶Birkhoff系统是一类更广泛的系统,包含了分数阶Lagrange系统、分数阶Hamilton系统等[20,21]。近年来,分数阶Birkhoff系统的Noether对称性与守恒量的研究成为一个热点并取得重要进展[22,31]。但是,迄今研究尚未涉及经典和分数阶导数联合的分数阶Birkhoff系统。本文将提出并证明基于经典和Riesz导数的分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理,利用“传递公式”给出守恒量的显形式。

1 经典和Riesz-Riemann-Liouville导数下分数阶广义Birkhoff系统的Noether定理

关于分数阶微积分的定义及基本性质,参见文献[13,22]。……