完整岩石拉压应力状态下的张裂破坏准则1)

2021-11-09吕爱钟刘宜杰尹崇林

力学学报 2021年6期

吕爱钟刘宜杰尹崇林

(华北电力大学水电与岩土工程研究所,北京 102206)

引言

岩石是一种天然材料,它的力学特性与金属材料有很大不同,如何建立能反映岩石固有特性的强度准则(也称破坏准则,有时也称屈服准则),一直是岩石力学工作者所关注的重要研究课题.Coulomb 于1773 年提出了第一个线性破坏准则[1],认为材料中某个面上的剪切应力达到了黏结力和该面正应力引起的内摩擦力之和时,材料将产生破坏.Griffith[2]于1921 年基于脆性材料裂纹的扩展提出了一种非线性破坏准则.在1980 年Hoek 和Brown[3]提出了一个经验破坏准则.

在过去的60 多年中,已提出了很多关于岩石破坏的强度准则,但大多数准则只适用于压应力状态,而不适用于拉应力状态[4],且大都将岩石压缩状态下的破坏归结于剪切破坏机理,Coulomb 准则就是基于剪切破坏而建立的.1900 年Mohr[5]基于破坏应力状态的所有应力圆包络线,提出了非线性剪切破坏准则.后来的很多经验破坏准则都是基于Mohr 假定,Hoek-Brown 准则就是其中之一.Drucker 和Prager[6]在1952 年基于Mises 和Coulomb 准则,提出了含有3 个主应力的破坏准则,这个准则与八面体上的剪应力有关.1961 年俞茂宏提出的屈服准则也与剪应力有关,所提的双剪应力屈服准则已经在很多领域得到了广泛介绍和应用[7-8].

目前大部分强度准则[1-5,9-15]只涉及到2 个主应力σ1,σ3,而忽略了中间主应力σ2对强度的影响,只有少数准则涉及到3 个主应力的情形[6,8,16-18].并且有些强度准则只是在假定σ1,σ2,σ3之间具有某种函数形式的基础上,利用一些试验结果,通过拟合的方法来确定函数中的未知参数,这些参数可能一点物理意义都没有,建立的准则很难具有通用性,也很难被广泛接受和使用.

本文将讨论不同应力状态下的强度准则,以适用于含有拉应力的情形.对于实际岩石工程,有时会出现拉应力分量.例如在隧洞两侧,顶部和底部的部分区域有时会出现拉应力,在采场上覆的顶板下部也会出现拉应力[19].由于岩石是一种抗压不抗拉的材料,所以拉应力的存在势必对岩石的破坏产生很大影响,由于以往的强度准则大都反映的是剪切破坏机理,所以这些强度准则在这种拉压应力状态下是不适用的.目前对拉压应力状态下的强度准则研究得较少,只有Bineshian 等[4]于2012 年提出了一个仅含有σ1,σ3的非线性压拉强度准则.该强度准则中含有3 个参数,其中一个为岩石的单轴抗压强度,另外两个参数由回归分析获得,难以通过试验的方法直接获得.

本文将基于最大面积增长率的概念建立完整岩石复杂应力状态下的强度准则.通过后文可知:所建立的强度准则具有明确的物理意义,准则中所涉及的参数为泊松比和单轴抗压强度.用主应力表示的强度准则非常简洁,这类强度准则不但可以反映中间应力σ2对强度的影响,而且也可以反映静水拉力引起破坏,而静水压力不能产生破坏的特点.

1 理论基础

最大拉应变理论认为:当材料的最大拉应变ε1等于单向拉伸屈服应变εs时,材料将发生破坏.该理论与大多数的试验结果不相符合,这个理论曾广为流行,但今天已很少有人应用[20].

作者认为材料的破坏不仅仅取决于最大张应变ε1,而应该也与次大张应变ε2有关.作者在文献[21]中证明了ε1+ε2所表示的是σ1主平面的面积增长率ΔS/S,如图1 所示.认为面积扩张率ε1+ε2等于极限值εu时,材料将产生张裂(也称劈裂).文献[21]基于ε1+ε2=εu建立了三向压应力状态下的强度准则,并利用真三轴和常规三轴压缩试验数据验证了准则的适用性.

图1 σ1 主平面的面积从S 增大到S +ΔS(σ1 ≥σ2 ≥σ3)Fig.1 Area of σ1-plane increases from S to S +ΔS(σ1 ≥σ2 ≥σ3)

现有的压缩试验实际已经发现了这种现象,例如在常规三轴压缩条件下,岩石的脆性破坏实际是一个微裂纹沿σ1方向萌生、扩展和聚结的过程,尤其是σ2(σ3) 的值相对较小时,可以观察到侧向宏观扩张破坏[1,22],如图2 所示.

图2 泥质石英岩试件的应力-应变曲线及在试件上所观察的微裂纹[1,22]Fig.2 Stress-strain curve of argillaceous quartzite specimens and cartoons of the state of microcracking observed on specimens[1,22]

由图2 可以看出:全应力-应变曲线可分为4 个区域.在AB区域,出现了一些可见的微裂纹,这些微裂纹基本平行于σ1方向(在±10°范围内).在BC区域的末端,微裂纹开始沿着一个平面聚结,在破坏点C,形成一个宏观断裂“平面”.最后,在CD区域,断裂面延伸到整个试样.文献[23]也认为岩石的破坏发展过程与微裂纹、空隙的变形有关,在应力不断增大的情形下,空穴的联通,裂纹的数量增加,裂隙的合并、交叉,逐渐形成沿σ1方向的宏观裂纹.过去常见的锥形体破坏实际上也是侧向宏观扩张引起的破坏,之所以见到的是锥形体破坏形态,是由试件端部的摩擦效应引起的,加载装置限制了试件端部向外的自由变形[24].

以剪切破坏为机理的强度准则很难反映上述这种侧向宏观扩张破坏[25],而本文提出的强度准则正是基于这种情形.处于三向拉应力状态下的岩石试件更容易产生拉应变,所产生的ε1+ε2更大,岩石更容易破坏,所以利用ε1+ε2建立压拉应力状态下的强度准则是合情合理的.

本文仍规定3 个主应力σ1,σ2和σ3都以压为正,以拉为负,而3 个主应变ε1,ε2,ε3以伸长为正.这样,对于任意的应力状态,显然有以下结论:ε1一定沿σ3方向,ε2一定沿σ2方向,如图1 所示.σ1主平面的面积增长率比σ2主平面和σ3主平面的面积增长率都大,即σ1主平面的面积增长率最大.

用主应变分量表示的强度准则为

文献[21] 在建立强度准则时,事先主观假定了εu的大小,认为εu=2εs(εs为单轴拉伸时的屈服应变),本文无需采用这个假定,而是通过单向受拉或单向受压的极限破坏状态来确定εu的大小,这个方法比文献[21] 更为严谨.且由后面的推导可知,对于三向压应力状态,本文所得到的强度准则与文献[21]是完全相同的.

本文在推导强度准则时,假定岩石为各向同性的材料,且在拉伸和压缩时具有不同的弹性参数和强度.在岩石为脆性破坏的前提下,可认为岩石在破坏前为线弹性材料,即在破坏的极限状态,所对应的应力和应变满足广义胡克定律.

岩石在拉伸和压缩时具有不同的弹性参数,这已经被很多试验所证实[26-32].试验结果表明:压缩弹性模量Ec大于拉伸弹性模量Et;压缩泊松比μc也大于拉伸泊松比μt,μt一般在0.05～0.2 之间,大部分岩石的μt位于0.05～0.1 区间,岩石拉压弹性参数可近似满足以下关系[33]

对于σ1=σ2=0,σ3=-σt时的单向受拉极限破坏状态,由广义胡克定律可得

式中σt为岩石的单轴抗拉强度.而对于σ1=σc,σ2=σ3=0 时的单向受压极限破坏状态,由广义胡克定律可得

式中σc为岩石的单轴抗压强度.式(3)和式(4)给出了εu的计算式,它与文献[21] 是不同的,由式(2)～式(4)可得到

当μt位于0.05～0.1 区间时,σc=(9.5～4.5)σt.即σc远大于σt,式(5)可能为间接确定岩石的单轴抗拉强度提供了一条途径.

2 不同应力状态下的强度准则

2.1 σ3 ≤σ2 ≤σ1 ≤0 的情形

当σ3≤σ2≤σ1≤0 时,有

将式(6)和式(7)代入式(1),并利用式(5)可得σ3≤σ2≤σ1≤0 时的强度准则

对于三向等拉状态(本文称静水拉力状态),σ1=σ2=＞0),代入式(8)并利用式(5),可得岩石产生破坏时所需要的静水拉力为

2.2 σ1 ≥0,σ3 ≤σ2 ≤0 的情形

当σ1≥0,σ3≤σ2≤0 时,有

将式(10) 和式(11) 代入式(1),并利用式(5) 可得σ1≥0,σ3≤σ2≤0 时的强度准则

式(12)与式(8)完全相同.这说明只要σ2,σ3为拉应力,无论σ1为压应力还是拉应力,所获得的强度准则都是一样的.

2.3 σ1 ≥σ2 ≥0,σ3 ≤0 的情形

当σ1≥σ2≥0,σ3≤0 时,有

将式(13) 和式(14) 代入式(1),并利用式(5) 可得σ1≥σ2≥0,σ3≤0 时的强度准则

2.4 σ1 ≥σ2 ≥σ3 ≥0 时的情形

这种情形已经在文献[21] 中讨论过,现基于新的εu来推导强度准则,此时

将式(16) 和式(17) 代入式(1),并利用式(5) 可得σ1≥σ2≥σ3≥0 时的强度准则

式(18)与文献[21]所获得的结果是相同的.式(18)与式(8),式(12) 的函数形式完全相同,将式(18) 中的μc换为μt即可获得式(8)或式(12).

由于在σ1=σ2=σ3＞0 的静水压力作用下,ε1=ε2都为压应变,所以σ1主平面的面积增长率是负值,即σ1主平面的面积是减小的,按照本文的准则,此时岩石不会产生破坏,这与过去的认知是相同的.实际上通过式(18)也可证明此结论.

当μc=μt=μ 时,不同应力状态下的强度准则式(8)、式(12)、式(15)、式(18)都变为同一个式子

3 强度准则的讨论

3.1 屈服曲面和屈服曲线

当μc=μt=μ 时,适用于全部应力状态的强度准则可由同一个表达式(19) 表示,这样通过式(19)可以在主应力空间描绘一个完整的屈服曲面.如图3所示,屈服曲面为一正三棱锥的锥面,棱锥的顶点坐标为(-σt,-σt,-σt).

图3 在主应力空间所描绘的屈服曲面Fig.3 Yield surface described in principal stress space

当μc≠μt时,式(8)、式(12) 和式(18) 表示的强度准则与式(19)在形式上完全相同,所以式(8)、式(12)和式(18)所描绘的屈服曲面形状也是正三棱锥的锥面.又因对应于2.1 节和2.2 节这两种应力状态的式(8)和式(12)完全相同,所以这两种应力状态对应于棱锥顶点附近的锥面,其中棱锥顶点对应于三向等拉应力状态.对应2.4 节应力状态的式(18),所描绘的是与前面不同的正三棱锥的锥面,且屈服曲面不能包含棱锥顶点的锥面.而对于2.3 节这种应力状态,所给出的强度准则表达式(15)与式(19)完全不同,所以在应力空间描绘的屈服曲面并非为正三棱锥的锥面.

本文在与π 平面平行的π′平面内讨论屈服曲线,π′平面与3 个坐标轴σ1,σ2,σ3的截距都为σc,如图4 所示.所表示的平面方程为

图4 π′ 平面上的屈服曲线[21]Fig.4 Yield curves on π′-plane[21]

可以证明在π′平面,式(19)相应的屈服曲线为3 条直线[21].这些直线组成了一个边长为的正三角形,如图4 所示.三角形的边长只与σc有关,而与μ 无关.这个正三角形实际上是屈服曲面(图3)与π′平面的交线.

3.2 与常用屈服准则的比较

本文拟将本文准则与常用的Mohr-Coulomb(MC)准则和Drucker-Prager(D-P)准则进行比较,M-C 准则由式(21)给出给出

式中,c,φ 分别是岩石的内聚力和内摩擦角.下面都以压应力状态为例,来讨论这些准则.

根据塑性力学中相关联的流动法则,由式(21)和式(18) 可求出M-C 和本文准则的塑性体积应变增量,且可以写为简单的表达式,而D-P 准则的较复杂,且与主应力σ1,σ2,σ3有关,在此只比较前两种准则的

对M-C 准则

对本文准则

因dλ ＞0,0 ≤μc≤0.5,0 ≤sin φ ≤1,所以有:＜0,＜0.因规定压应力为正,所以当塑性体积应变增量为负值时,就表明塑性体积应变是增大的,这与岩石压缩破坏时所出现的扩容现象是一致的.

但两种准则所反映的塑性体积应变增量是不同的,表1 给出了不同参数下的塑性体积应变增量.当内摩擦角φ 较大时,由M-C 准则计算的的值与试验结果相比偏大[34-35],所以一般采用非关联的流动法则来解决这个问题,用剪胀角Ψ 代替φ,但这样的Ψ 并没有明显的物理含义[36],或者直接通过减小φ 的措施,但这样有很大的主观性.

表1 两种准则在不同参数下的塑性体积应变增量Table 1 Plastic volume strain increment of two criteria under different parameters

M-C 准则在π′平面上的屈服曲线如图5 所示,图中也给出了D-P 准则和本文准则的结果,M-C 准则和D-P 准则在π′平面上的屈服曲线分别是六角形和圆形.假定3 条曲线在单轴压缩点相互重合,则本文准则所对应的屈服曲线包围了D-P 曲线和M-C 曲线,D-P 曲线又包围了M-C 曲线,这反映出M-C 准则最保守,D-P 准则次之,而本文准则最不保守.

图5 不同准则在π′ 平面的屈服曲线[21]Fig.5 Yield curves of different criteria on π′-plane[21]

为什么M-C 准则最保守呢?这主要是因为它没有考虑中间主应力σ2对岩石强度的影响.从本文建立的强度准则式(18)可知,σ2对岩石强度(指σ1的值) 的影响很大,而且中间主应力σ2对强度的影响与最小主应力σ3完全等同,这与双剪强度理论是一致的[7-8].实际上很多学者通过大量的真三轴试验,也揭示了σ1随σ2增大而提高的规律,都认为在考虑中间主应力σ2作用后,结构具有更大的承载能力[37].

4 强度准则的试验验证

对于前面2.1 节和2.3 节所讨论的应力状态,目前尚未见到相应的试验数据;而对于2.2 节所讨论的二向受拉一向受压应力状态的试验数据也很少,只有Brace 于1964 年给出了一些岩石处于二向等拉一向受压(σ1≥0,σ2=σ3＜0)的试验数据[38];而2.4节所讨论的三向受压应力状态的试验数据较多,尤其是常规三轴状态(σ1≥σ2=σ3≥0)的试验数据很多.由于在文献[38]中Brace 也给出了常规三轴状态下的试验数据,所以下面首先利用Brace 的试验结果验证2.2 节和2.4 节提出的强度准则.

以往在进行强度试验时,大都关心的是给定σ2,σ3后,当σ1达到多少值时,试件发生破坏,很少在试验中也测定岩石的μc和μt,所以下面在利用Brace试验结果验证强度准则时,都是利用试验所得的数据(σ1i,σ2i,σ3i)(i=1,2,···,n),来计算岩石的泊松比和单轴抗压强度.若求得的泊松比处于岩石的正常取值范围之内,且求得的单轴抗压强度与实际的单轴抗压强度σc相近,那么可以间接说明所提出的强度准则是合适的.

本文在利用试验数据求解泊松比、抗压强度时,应将2.2 节和2.4 节这两种应力状态分开单独讨论.对于二向等拉一向受压状态,应采用强度准则(12).而对于受压的常规三轴状态应采用强度准则(18).

对于二向等拉一向受压状态,通过最小二乘法获得式(12)的拉伸泊松比和单轴抗压强度的最优拟合值和为

式中αi=(σ2i+σ3i)/2.

以后凡是出现上角标*的变量都表示是拟合值,而不是实测值.

当给定σ2,σ3时,由下式可以求出

而对于受压的常规三轴状态,通过最小二乘法可获得式(19)的压缩泊松比和单轴抗压强度的最优拟合值以及此时的拟合优度式(24)～式(27) 此时仍然可以使用,只需将式(24)～式(27)中的分别换为及即可.

图6～图9 给出了白云岩、辉绿岩、花岗岩和石英岩这4 种岩石的计算结果.

图6 白云岩试验结果和理论计算结果的比较Fig.6 Comparison of test results and theoretical calculation results for dolomite

图7 辉绿岩试验结果和理论计算结果的比较Fig.7 Comparison of test results and theoretical calculation results for diabase

图8 花岗岩试验结果和理论计算结果的比较Fig.8 Comparison of test results and theoretical calculation results for granite

图9 石英岩试验结果和理论计算结果的比较Fig.9 Comparison of test results and theoretical calculation results for quartzite

由两类试验获得的岩石抗压强度是不同的,对于4 种岩石的二向等拉一向受压状态,所求的与实测的σc的相对误差δt分别为:7.5%,3.6%,3.3%,3.4%,平均为4.5%;对于4 种岩石的三向受压状态,所求的与实测的σc的相对误差δc分别为:11.2%,7.8%,5.2%,7.3%,平均为7.9%.

文献[38]中也给出了更为简单的受力状态下的试验结果.试验仅有一组双向等拉试验(σ2=σ3＜0,σ1=0),其他都为三向压缩试验.由双轴拉伸和单轴压缩二组试验数据,利用式(12)可以求得μt和σc,对于三向压缩试验可以利用式(18)求得如表2 所示.

由表 2 可以看出:17 组岩石的 μt都位于0.05～0.13 之间,平均为0.08;而17 组岩石的μc除1 组为0.41 外,其他大都位于0.07～0.3 之间,平均为0.20.除了Copper cliff矿的石英闪长岩μt=μc外,其他岩石都有μt＜μc.

表2 岩石双向等拉下的μt 及三向压缩下的,δcTable 2 μt of rocks under biaxial equal tension and ,δc of rocks under three-dimensional compression

即Betourney 和Borecki[38]的试验结果同样验证了强度准则的适用性.

5 强度准则的应用

通过巴西圆盘劈裂试验(图10)间接获得的岩石单轴抗拉强度是否能完全代替单轴拉伸试验直接获得的单轴拉强度呢?换句话说,两种方法获得的单轴抗拉强度是否相同? 陶纪南[40]于1995 年通过大量的试验结果阐明:劈裂法不能真实地反映岩石的抗拉强度,对于硬岩,劈裂法一般偏低;对于软岩或层状岩石,劈裂法则偏高.这个规律可以通过本文提出的准则做出很好的解释.

图10 巴西圆盘劈裂试验简图Fig.10 Diagram of Brazilian disc splitting test

劈裂法试验与单轴拉伸试验相比,其试件的受力状态稍为复杂一些,前者为压拉应力状态,后者为单向受拉状态.以往在利用劈裂法确定岩石单轴抗拉强度时,认为圆盘中心沿x方向的拉应力σx达到岩石的单轴抗拉强度时,圆盘将从圆盘中心开始产生沿作用力P方向的劈裂破坏.下面将用建立的强度准则(12) 证明所求得的比真实的单轴抗拉强度σt小.

实际上圆盘中心的破坏是在σx和σy(σy=-3σx) 的共同作用下产生的,因σx和σy都为主应力,所以对应于破坏状态的应力状态为:σ1=σ2=0,σ3=代入式(12),并利用式(5)可得

因0 ≤μt≤0.5,所以通过劈裂法获得的比实际岩石的单轴抗拉强度σt小.当μt=0.05 时,=0.76;μt=0.1 时,=0.6.所以直接将作为单轴抗拉强度时比实际的单轴抗拉强度σt偏低,当μt=0.05 时,可偏低24%,当μt=0.1 时,可偏低40%.

式中Pmax是岩石试件从圆盘中心拉开时的最大破坏载荷,d和t是圆盘的直径和厚度.

实际上,在试验过程中难以保证外载荷P作用于一条直线上,对于软岩更是如此.为了防止试件的破坏始于集中力作用处,ISRM 建议通过图10(b) 所求的弧板模具对圆盘加压,这时的外载荷P不是作用于一条直线上,而是作用在圆盘环向一定的范围之内,随着载荷不断增大,这个加载范围将不断增大,对于软岩加载范围增大得会更为明显.但如果仍按式(29) 计算圆盘中心拉开时的应力,那么这必将造成误差.

设弧板与圆盘之间的接触角度为2α,文献[41]获得了圆盘中心沿x方向的拉应力为