孙玉明

(烟台大学物理系，山东 烟台 264005 )

受迫谐振子是一类可以解析求解的含时问题，求解方法大致上分为不变算符法[1-3]、幺正变换法[4]、李代数法[5]和格林函数法[6].根据系统特点选择合适的方法,一般可以得到系统的量子态. 因为哈密顿量含时,系统能量不守恒,量子态在希尔伯特空间中的运动轨迹更加复杂，路径的特点体现在量子态的几何相位中. 不少文献已经对含时谐振子的几何相位进行了讨论[6-8],不过对绝热近似下的Berry相位研究的多一些,对非绝热或非循环的情况涉及不多. 在以不变算符法和格林函数法为基础的研究中,则需要求解辅助微分方程或者参数微分方程，它们的求解往往很困难.本文结合幺正变换法和李代数法给出了1维受迫谐振子的1种简洁求解方法,而且讨论了量子态循环和非循环演化时的几何相位.

1 受迫谐振子的量子态

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

也构成1个李代数[9],对易关系是

[Mη,Mr]=Mr, [Mη,Ml]=-Ml,

[Ml,Mr]=Mδ, [Mη,Mδ]=0

(6)

-iηMη和-i(rMr+lMl+δMδ)分别是该空间中的矢量,它们在李群中的元素是指数矩阵e-iηMη和e-i(rMr+lMl+δMδ).

(7)

(8)

哈密顿算符式(2)的矩阵形式是

(9)

(10)

(11)

根据表4可以得知，中国绿色经济增长数值随着总产出的增加而增加。而在近10年的产出中，虚值比例是逐年下降的，与10年前的虚值比1.32%相比，近三年的虚值比均未超过0.7%。产生这种现象的原因是：虽然10年以来产出和煤炭消费都呈现增长的趋势，但是煤炭消费增长速度小于产出的增长速度，所以在此基础上计算出来的产出的虚值比在缓慢下降。同时，在某种程度上也表明了中国近年来所采取的向绿色、环保、低碳方向发展的政策起到了一定的作用，为了创造生产总值而付出的环境成本在不断降低。……