李海艳

(成都锦城学院 通识教育学院，四川 成都 611731)

0 引言

脉冲微分方程是数学领域的一个重要分支.有关非线性脉冲微分方程边值问题解的问题，很多学者对其进行了研究[1]，这些文献中涉及的方法很多，包括上下解方法、单调迭代技术、锥上的不动点定理、Leray-Schaudar原理等．此外，二阶脉冲微分方程的边值问题已经被广为研究[2]，但在这些文章中，作者总是假设非线性项f与一阶导数x′(t)无关，或者非线性方程中不含h(t)．

笔者讨论了如下边值问题(BVP)：

(1)

笔者讨论了一类二阶脉冲微分方程的三点边值问题，利用不动点指数理论获得该问题正解的存在性定理，建立了一些该问题存在正解的充分条件．

1 预备知识

为了方便，笔者列出一些定义、注解和已知的结论．

令J0=[t0,t1],Jk=(tk,tk+1],k=1,2,…,m,t0=0,tm+1=1.PC[J,R]={xJ→R|x(t)，当t≠tk时连续,存在,且当t≠tk时连续,存在，且引入范数

显然，PC[J,R]在‖·‖PC下构成一个Banach空间，PC1[J,R]在‖·‖下构成一个banach空间．

记PW[J,R]={x∈PC[J,R]|x′(t)在每个区间Jk的任意子集上绝对连续，k=1,2,…,m}.

定义1x称为BVP(1)的一个正解，若x∈PW[J,R],x(t)>0,t∈J，且满足(1)．

引理1[3]H⊂PC1[J,R]是相对紧集的充分必要条件为H中的诸函数x(t)及其导函数x′(t)都在J上一致有界且在每个Jk(k=1,2,…,m)上等度连续.

1) 如果‖x‖≤‖Tx‖，对x∈∂Ωρ，那么i(T,Ωρ,P)=0；

2) 如果‖x‖≥‖Tx‖，对x∈∂Ωρ，那么i(T,Ωρ,P)=1．

引理3 设x∈PW[J,R]满足:

则

引理4 设x∈PW[J,R]是BVP(1)的解，当且仅当x∈PC1[J,R]是下面脉冲积分方程的解．

其中

经计算可得：

由于xJ→R+,x″(t)=-h(t)f(t,x(t),x′(t))≤0 ，可知x(t)在[0,1]上是凹的．令K={x∈P|x是凹的且其中γ如上所给．显然P是E上的一个锥，K是P的一个子集．令Kr={x∈PC1[J,R]|‖x‖0．

定义算子TP→K，

笔者给出下面的假设：

(H1)假设对任意的r，r′>0，存在φ(t)∈L∞[0,1]，使得f(·,x1,x2)≤lφ(t)，其中(x1,x2)∈[0,r]×[0,r′],l=max{r,r′},t∈[0,1]．

其中，λ>0为一常数，

(H3)假设存在常数l0和b，其中

使得

为了方便，记

其中c>0,J=[0,1]．

引理6 假设(H1)、(H2)成立，那么TP→K……