王翠翠，孙 丽，邹 斌

（1.安徽三联学院 基础部，安徽 合肥 230601；2.阜阳职业技术学院 基础教学部，安徽 阜阳 236031；3.安徽开放大学 文法与教育学院，安徽 合肥 230022）

2011 年Zadeh[1]提出了Z-number 后，许多学者对Z-number 展开了研究，Aliev 等[2-3]在模糊集截集的概念上，给出了Z-number 的基本算术运算以及Z-number 最大、最小、平方、平方根的代数运算，并基于线性规划和简单的最优化问题提出了一种权衡计算复杂度和精度的计算方法，为Znumber 的拓展提供了良好的环境。随后，Wang等[4]提出了语言Z-number 概念，并用语言术语来描述Z-number 的两个分量，拓展了Z-number 的应用范围。一般来说，定义运算法是提出加权平均算子的基础，方春[5]定义有序加权平均算子（Ordered Weighted Average）并应用于UML 类图的度量问题。类似地，Pirmuhammadi 等[6]基于Z-number 的算术运算法则定义了广义的Hukuhara 积分和广义积分以及Z-numbr 的距离，并证明了Znumber 初值问题的相关性质，对Z-number 的基本运算进行了补充。Peng 等[7]提出了离散Z-number的优序关系并定义了离散Z-number 优势度的概念，通过ELECTRE III 方法中的偏好、无差异、否定三个阈值解决准则之间的不可补偿性，并将其与QUALIFLEX 方法结合发展出一种新的决策方法，将Z-number 与传统的决策方法结合，将Znumber 理论应用到了实际的决策问题中。卢亚楠等[8]将语言型Z-number 的云模型转化为正态Z+值，并提出了基于ELECTER 的正态Z+值多属性决策方法。另外，部分学者还在Z-number 中定义了一些常用的特征变量，如相似度和距离[9]、频谱函数[10]、效用函数[11]和T 模[12]。Kang 等[13]认为Znumber 是一对经典的模糊数，提出了一种将Znumber 转化为经典模糊数的方法，而谢小军等[14]基于二元区间模糊数构建包含ARIMA 模型和BP 神经网络的组合模型，这些经典模糊环境下的决策方法都可以应用到Z-number 环境中。对于Z-number 潜藏概率的求解问题，Yang 等[15]将差异最大化引入限制条件之中，并以此为目标函数构建Z-number 潜藏概率求解的线性规划模型。Qiao 等[16]则是以隐藏概率熵的极大化为目标求解潜藏概率。张晓珍等[17]构建两个非线性模型计算Z-number 的潜藏概率，并提出了Z-number 的PROMETHEE 多属性决策方法。

TODIM 方法是多准则决策中常用的一种决策方法。樊治平等[18]提出了区间数信息环境下的TODIM 决策方法，基于各属性下评价值的距离来计算收益或者损失，从而计算优势度值对各方案进行排序。王坚强等[19]将TODIM 方法拓展到多值中智集环境中提出一种基于多值中智集的多准则决策方法。上面两篇文章对于其他环境下TODIM 方法的发展具有借鉴意义。姜艳萍等[20]考虑到决策者具有参照依赖和损失规避行为，提出一种不完全信息的TODIM 决策方法，使得TODIM在信息更加贫乏的情况下依然能够正常决策。目前将TODIM 与Z-number 结合的研究还比较少。因此，本文将针对Z+-number 环境下的决策问题，拓展出Z+-number 环境中的TODIM 方法。

1 基本概念

本节将介绍离散Z-number 集、离散Z+-number 集等概念，并定义离散Z+-number 集海明距离。

定义1[1]（离散Z-number 集）设X是一个随机变量，A和B分别是定义在X上和[0,1]上的两个离散的模糊数，A的隶属度值μA:x1,x2,…xn→[0,1],B的隶属度μb:b1,b2,…,bn→[0,1]。定义在X上的离散Z-number 记作Z=(A,B)，这里A是X的模糊限制，B是模糊限制A的概率测度。

定义2[2]（离散Z+-number 集）设X是一个随机变量，A是定义在X上的离散的模糊数，这里A是对X的模糊限制，R是X的概率分布p(x)，

其中μi/xi,i=1,2,…,n代表X=xi的可能性，pi/xi,i=1,2,…,n代表X=xi的概率，则称其为离散Z+-number，记作Z+=(A,B)。

定义3设=(A1,R1)，=(A2,R2)为X上的两个Z+-number 集，它们的概率分布分别为

将x11,x12,…,x1m,x21,x22,…,x2n中相同的元素进行合并，然后重新进行排列，记作x1,x2,…,xl，其中xi对应的Z1和Z2中的概率分别记为P1i和P2i，在Z1或Z2中未出现的xi在Z1或Z2中对应的概率设为零，则Z+-number 的海明距离可表示为

2 基于多目标的潜藏概率求解模型

Z-number 潜藏概率的求解是Z-number 研究的一个重要问题。文献[15]将差异最大化引入限制条件之中，并以此为目标函数构建Z-number 潜藏概率求解的线性规划模型，但该方法对概率测度B的信息利用不够充分，可能会造成很多信息损失。文献[16]以隐藏概率熵的极大化为目标求解潜藏概率，该方法得出的潜藏概率矩阵能够表达语言术语语意渐进的过程，但当可靠性较小时所得出的潜藏概率不能令人信服。为了克服这些方法的不足，本文基于文献[16]，引入概率和隶属度的一致性作为求解潜藏概率的目标，并且对B中的每个概率值都给出对应的潜藏概率，然后进行集成以得到最终的综合潜藏概率值。因此，可以得出如下的潜藏概率求解模型。

Z=(A,B)是定义在X上的离散Z-number，A的隶属度值μA:x1,x2,…,xn→[0,1]，B的隶属度值为μB:b1,b2,…,bn→[0,1]，pX:p1,p2,…,pn→[0,1] 为X上对应元素的潜藏概率，则对它求解的线性规划模型如下：

其中α是惩罚函数，当μA(xi+1)-μA(xi)(pi+1-pi)≥0时，α=0；当μA(xi+1)-μA(xi)(pi+1-pi)＜0 时，α取一个很大的正数，例如α=100 0。

例如，设Z=(A,B)，A和B的隶属度如下：

计算得出Z的潜藏概率分布矩阵如表1。

表1 Z 的潜藏概率分布

最终综合潜藏概率可以利用可靠性度量的隶属程度进行集成，记μB中隶属度值组成的向量为mB,mB=[μB(bi)]1×n，记潜藏概率分布矩阵为E，综合潜藏概率向量的求解公式为：

因此，求得Z的综合潜藏概率向量为P=[0.062 9,0.174 2,0.525 8,0.174 2,0.062 9]。

3 改进的TODIM 方法

对离散Z+-number 环境下的多属性决策问题，假设有m个备选方案A={A1,A1,…,Am}，n个决策属性a={a1,a1,…,an}，其权向量ω={ω1,ω2,…,ωn},wj∈[0,1]且=1。aj下的值为Z-number 值，其中模糊限制记为si,i∈{0,1,2,…,2s}，可靠性度量记为s′i,i∈{0,1,2,…,2t}，构成的决策矩阵为R=[rij]m×n。

基于离散Z+-number 的改进的TODIM 方法具体步骤如下：

Step 1：对决策信息进行规范化处理，得到标准化矩阵～R=[rij]m×n。对于效益型属性，对应的决策信息不用改动。对成本型属性，取决策信息的补集，即Z=(si,s′j),ZC=(s2s-i,s′2t-j)。

Step 2：求出各评价值的潜藏概率，确定评价信息的Z+-number 矩阵，记为R+=

Step 3：选取参照标准ak，一般选权重最高的准则为参照标准。设一个Z-numberZ=(A,B)是定义在X上的离散Z-number，令hA=maix [μA(xi)]，hB=，记Z的中心值为H，且H可通过公式H(Z)=hA×hB求得。

Step 4：计算方案间的优先程度，假设方案Ai优于Aj的程度δ(Ai,Aj)，

公式（4）中的价值函数φl(Ai,Aj)表示在准则al(l=1,2,…,n)下方案Ai优于Aj的程度；参数θ表示损失的衰减系数，可以根据决策者进行调整，若θ＜1，则损失的影响会增大，若θ＞1，则损失的影响将减小，θ=1 是最常用的；表示准则al的权重除以参考准则ak的权重ωk；Hil和Hjl分别表示Z+-number和的中心值；表示两个表示Z+-number和的距离。

Step 5：计算方案Ai的综合排序值ξi，即

Step 6：根据综合排序值ξi进行排序，ξi的值越大，方案Ai越优先。

4 实例分析

某投资公司面对四个待选的高新技术投资方案：移动通信(x1)、新能源技术(x2)、生物医药(x3)、低碳减排技术(x4)，选择最优方案进行投资，邀请专家分别从收益率(a1)、技术成熟度(a2)、发展前景(a3)、潜在风险(a4)四个方面进行评价，四个属性权重向量为ω=[0.25,0.20,0.25,0.30]，且四个属性均为效益型。模糊限制和可靠性度量的语言尺度见表2 和表3，专家评估结果如表4 所示。

表2 模糊限制对应的语言尺度

表3 可靠性度量对应的语言尺度

表4 专家评估结果

Step 1：由于各属性均为效益型属性，因此相应的决策信息无需变动。

Step 2：计算各Z-number 评价结果的潜藏概率，并求出评价信息的Z+-number 矩阵，其中

Step3：依照属性权重选取参照标准，选为a4。

Step 4：假设取衰减系数θ=1，计算方案间的优先的程度，结果如表5。

表5 方案间的优先程度

Step 5：根据公式（5）计算方案Ai的综合排序值ξi，得ξ1=0，ξ2=0.698 4，ξ3=0.355 0，ξ4=1。

Step 6：对综合排序值进行比较，可得方案最终排序为A4≻A2≻A3≻A1。

由于不同衰减系数θ的取值可能会对最终排序结果产生一定影响，下面对排序结果进行稳健性分析，选取不同的θ值对方案进行排序，结果见表6 所示。不难发现，取四个不同的θ值时方案的排序完全一致，均为A4≻A2≻A3≻A1，由此验证了本方法具有较好的稳健性。

表6 排序结果稳健性分析

5 小结

本文定义了Z+-number 的海明距离，提出了新的Z-number 潜藏概率求解方法，并将Z+-number环境与TODIM 方法相结合扩展出了基于Z+-number 的TODIM 方法，并针对衰减系数作了稳健性分析。结果检验了本文方法的稳健性，为Znumber 环境下的决策研究提供了一种新的解决方式。在进一步的研究中，将会对Z+-number 的熵进行研究，并探索如何对属性权重进行客观定权。