李雨珊,薛 红

(西安工程大学 理学院,陕西 西安 710048)

0 引 言

1 金融市场数学模型

1.1 标的资产价格模型

假设标的资产价格{S(t),t≥0}满足随机微分方程

(1)

μt=<μ,Xt>,μ:=(μ1,μ2,…,μN)∈RN

σt=<σ,Xt>,σ:=(σ1,σ2,…,σN)∈RN

其中<·,·>表示向量的内积,{Xt,t≥0}为连续时间Markov链,表示不同市场经济状态之间的转换。{Xt,t≥0}的取值空间为{e1,e2,…，eN},其中ei=(0,…,1,0,…,0)∈RN;(μi,σi)为第i个状态时的标的资产期望收益率和波动率。Markov链的一步转移概率矩阵为

(2)

式中：pij(t)=P{σ(s+t)=σj|σ(s)=σi}。

根据Wick积分[20]，求得随机微分方程(1)的解为

(3)

当{Xt,t≥0}为单状态Markov链时,即退化为文献[9]中分数Black-Scholes定价模型,此时标的资产价格满足

(4)

式(4)的解为

(5)

式(4)、(5)中标的资产期望收益率μ、波动率σ均为常数。

1.2 参数估计

(6)

极差为

(7)

Hurst建立如下关系:

(R/S)n=KnH

(8)

式中：K为常数；H为Hurst指数。对式(8)两端取对数，并进行最小二乘回归分析，即可求出H的估计值。

1.2.2 期望收益率与波动率 依据标的资产价格的历史数据,采用移动平均模型估计日波动率，即用过去M天的收益率动态地估计下一天的波动率σd，

(9)

式中：

(10)

(11)

将σd、μd转化为年波动率。假设每年交易天数为252 d,故

(12)

μy=252μd

(13)

2 欧式期权定价

2.1 欧式期权保险精算价格

设C(K,T,Xt),P(K,T,Xt)分别为到期日为T,执行价格为K的欧式看涨和看跌期权的保险精算价格,由文献[21]知：

C(K,T,Xt)=E[(exp(-μt(Xt)T)S(T)-

exp(-rt(Xt)T)K)+]

(14)

P(K,T,Xt)=E[(exp(-rt(Xt)T)K-

exp(-μt(Xt)T)S(T))+]

(15)

其中风险资产S(T)的贴现值为

exp(-μt(Xt)T)S(T)

执行价格K的贴现值为

exp(-rt(Xt)T)K

特别地,在分数阶Black-Scholes模型中,到期日为T、执行价格为K的欧式看涨和看跌期权的保险精算价格[22]为

C(K,T)=S(0)N(d1)-

exp(-rT)KN(d2)

(16)

P(K,T)=exp(-rT)KN(-d2)-

S(0)N(-d1)

(17)

式中：

2.2 蒙特卡洛模拟法

一般情形下,式(16)、(17)无法得到具体计算表达式,因此选择蒙特卡洛模拟法对期权价格进行数值模拟计算。具体模拟计算步骤如下:

1) 将距到期日时间[0,T]划分成n个小区间[ti,ti+1],i=0,1,…,n-1；

2) 确定分数布……