张 瑾

(西安文理学院 信息工程学院，陕西 西安 710065)

1 引言与主要结果

设p为奇素数,g为整数。如果对所有整数1≤i≠j≤p-1,有(gi-gj,p)=1,则称g为模p的原根[1-2]。众所周知,原根在数论研究中扮演着重要的角色,这是因为若g是模p的一个原根,则g,g2,…,gp-2及gp-1构成模p的一个简化剩余系。这一事实极大地方便了很多数论问题的研究。在这一领域,许多学者研究了原根的基本性质,并得到了不少有意义的研究结果。例如,文献[3]证明了以下结果:设p为足够大的奇素数。则对于任意整数a,b和c满足(abc,p)=1,至少有2个模p的原根α和β，使得同余式aα+bβ≡c(modp)成立。

文献 [4] 证明了更强的结果，由此不难推出更一般的结论:

设p为足够大的奇素数,ui和vi为满足(u1u2v1v2,p)=1的整数。则对任意整数1≤a≠b≤p-1满足(ab,p)=1,存在模p的3个原根α,β和γ，使得以下同余方程成立:

u1α+v1γ≡a(modp)

u2β+v2γ≡b(modp)

有关模p原根和有限域Fq(其中Fq为一个特征为p的q元有限域) 上的本原元的论文可见参考文献[3-19],这里不再一一列举。

本文考虑有关模p原根的如下问题:

如果成立,令N(p)表示所有这样a的个数。此时,N(p)有哪些渐近性质?

类似地,令M(p)表示所有使得a,a2+1和a2-1为模p原根的a的个数。

本文使用初等方法,特征和及模p原根的特征函数的估计研究N(p)和M(p)的渐近性质,并得到了2个渐近公式，即

定理1对任意奇素数p,有渐近公式

定理2对任意奇素数p,有渐近公式

显然定理在有限域Fq中也成立。由定理可得以下2个推论:

推论2设p为充分大的奇素数。则至少存在一个整数1

定理4对任意素数p≡1(mod 4),有渐近公式

由定理3 和定理4 可得以下推论:

推论4设素数p≡1(mod 4)足够大,则至少存在一个无平方因子整数1