邹灵果

(厦门海洋职业技术学院 公共教育学院，福建 厦门 361009)

近年来，研究非线性方程的方法已趋于成熟，学者们利用各种方法研究典型的非线性方程，得到了一些很有意义的解。 其中，行波解是非线性偏微分方程非常重要的一类解，并且很多典型的非线性偏微分方程有丰富的行波解。 例如：KdV方程ut-6uux+uuxxx=0[1]有光滑的孤立波解；CH方程(Camassa-Holm方程)ut-uxxt+3uux=2uxuxx+uuxx[2]有孤立尖波解等行波解；Fornberg-Whitham方程ut-uxxt+ux=uuxx-uux+3uxuxx[3]在一定条件下会出现爆破的行波解。 除此之外，Burgers方程、Sine-Gordon方程、KP方程等都有丰富的行波解。辅助方程法[4](代数方法)、广义椭圆方程法[5]、F-展开法[6]和平面动力系统分支理论[7]都被运用到非线性偏微分方程领域的研究中，这4种数学方法一直都是很好的非线性分析工具。本研究利用Rui[8]提出的一种改进的方法即积分分支法来求解非线性偏微分方程，这种改进的方法不像分支理论那样涉及复杂的相图分析，它很容易就能够满足，可为用积分分支法解非线性偏微分方程奠定基础。

1 非线性偏微分方程的积分分支法

1.1 积分分支法概述

对于一个给定的(n+1)维非线性偏微分方程：

E(t，xi，uxi，uxixi，uxixj，utt，…)=0，i，j=1，2，…，n，

(1)

积分分支法简单过程如下：

P(ξ，φ，φξ，φξξ，φξξξ，…)=0。

(2)

反复对式(2)积分，直到它变成式(3)这样的二阶非线性常微分方程后进行下一步：

G(φ，φξ，φξξ)=0。

(3)

(4)

(5)

这里的τ是参数。

如果方程(4)是一个积分系统，那么方程(4)与方程(5)有如下相同的积分：

H(φ，y)=h，

(6)

这里的h是积分常数。一般情况下，函数(6)满足如下关系：

y=y(φ，h)，

(7)

如果式(7)是一个积分表达式，那么把式(7)代入系统(4)的第一个方程并进行积分运算，得到

(8)

如果……