谢万姗,孙玉东(.贵州民族大学 数据科学与信息工程学院, 贵阳 55005; .贵州民族大学 商学院, 贵阳 55005)

亚式期权是最早出现在日本东京的金融证券,由美国银行家信托公司推出的衍生证券,其回报取决于一段时期标的资产平均价格.这些期权被有兴趣的交易者用来对冲一种商品的平均价格而不是到期日的价格,亚式期权的价格不太容易受价格操纵的影响,因此这种期权在交易稀少的商品上对参与交易的商品尤其有用.然而,定价和对冲亚式期权非常困难,尤其是对于依赖算术平均的期权.有关期权定价的数值差分方法,文献[1]研究了一种混合有限差分方法对固定执行价格的亚式看涨期权进行定价,通过积分变换将空间变量为二维偏微分方程降维到一维的偏微分方程,该方法主要采用Crank-Nicolson方法离散时间变量,采用混合有限差分方法离散空间变量.文献[2]提出了一种稳定的亚式看涨期权的数值定价方法,该方法在空间变量上进行移动网格的中心差分方法离散化,在时间变量上采用Rannacher方法离散化.文献[3]研究了亚式期权定价的数值解,由于不平等的限制导致变分不平等的亚式期权,结合高阶拉格朗日-伽辽金方法求解偏微分方程,并且利用迭代方法进行数值求解.文献[4]提出了一种交替方向隐式差分格式的亚式期权定价,对于二维偏微分方程算术平均亚式期权定价提出了一种快速、稳定的数值方法,并且采用交替方向和中心差分格式相结合的方法推导了数值计算方法,数值格式在最大范数下是稳定的.文献[5]研究了敲出型双障碍期权定价的高精度隐式差分格式,采用不等式放大技术和递推法分析了差分格式的稳定性和收敛性.文献[6]给出了一种时空分数阶欧式期权定价模型,用快速双共轭梯度稳定方法来求解数值格式.文献[7]采用显式有限差分方法研究了亚式期权的边值问题,一般情况下边值公式中各种退化和近似的数值方法是存在振荡的,并找出合适的方法避免振荡.文献[8-9]由于风险资产的演化呈现复利的动态特征,而亚式期权引入的路径因子是股价的算数均值,这导致亚式期权定价困难,为此许多学者人为地将算数均值修改为几何平均值给出了亚式期权的价格.目前有关算术平均期权的研究多见于数值方法.文献[10]建立了两种显式差分格式和一种隐式差分格式解决了多维 Landau-Lifshitz 方程的初边值问题,采用Tayolr 级数展开法分析了各种差分格式的截断误差,运用Matlab软件数值模拟了差分格式对该类问题的可行性.文献[11]对于空间-时间分数阶的对流扩散方程求数值解法,运用隐式差分方法研究了算术平均期权定价问题.文献[12]针对于分数阶时变Black-Scholes模型下算术平均亚式期权定价,提出了隐式差分方法求解亚式期权问题,采用不等式放大技术证明了差分格式的稳定性、唯一性及其收敛性,再利用差分格式在R软件上模拟了算术平均亚式期权的数值定价.文献[13]在分数跳扩散Heston模型下研究了亚式期权定价,通过Monte-Carlo模拟研究了算术平均亚式期权的价格,并且利用Gronwall不等式,给出Heston金融资产模型的有界性和连续性.文献[14]提出了时间分数阶Black-Scholes模型的差分方法,对有限差分方法的显式差分方法与隐式差分方法进行加权平均得到差分方法解决欧式期权问题.对于时间分数阶Black-Scholes模型下的数值差分方法研究相对较少,只有文献[12]运用隐式差分方法离散化得到了时间分数阶Black-Scholes模型下算术平均亚式期权定价的一种数值解法,本文考虑时间分数阶Black-Scholes模型下算术平均亚式期权问题,将显式差分方法与隐式差分方法进行融合得到一种普遍性差分方法,这种融合是通过加权平均的思想,然后结合数学归纳法证明差分格式解的唯一性、稳定性以及收敛性,进行相应的数值模拟,说明差分方法求解时间分数阶Black-Scholes模型是可行的.

1 亚式期权

本节主要描述固定报价的算术平均亚式看涨期权从二维空间变量的偏微分方程降维为一维空间变量的偏微分方程及其边值问题.

假设基础资产价格S(t)遵循几何布朗运动[1]:

dS(t)=rS(t)dt+σS(t)dB(t),

其中：r是无风险利率,σ是波动率,B(t)是在风险中性测度下的标准布朗运动.令I(t)表示标的资产价格运行总和:

故标的资产价格运行总和I(t)的平均值为A(t)=I(t)/t.由文献[1-2]可知,连续算术平均亚式看涨期权价格C(t,S,I)满足以下二维空间变量偏微分方程(PDE)和边值条件:

C(T,S,I)=max(I/T-E,0)

(1)

其中：T为到期日,E为执行价格.这个二维偏微分方程是一个退化抛物型问题.在计算流体动力学中,对流项的标准中心差分方法会产生虚假振荡.

由于式(1)是一个导致更大计算成本的二维偏微分方程,需要将式(1)变为一维偏微分方程,则变量变换[1]:

(2)

通过变量变换式(2)将式(1)转换为一维空间变量的偏微分方程:

V(T,x)=max(-x,0).

(3)

当I≥ET时,可得亚式期权的边值条件如下:

exp{-r(T-t)},

(4)

式(4)由式(2)中的变量替换,很容易变换得:

xexp{-r(T-t)},

(5)

当x>0时,在式(5)中补充x=0可计算得边界条件:

(6)

风险资产一文不值是风险资产价格S=0,即该风险资产的亚式期权也作废,当I

由于在数值方法的应用中需要将无穷域(0,+∞)转化为(0,X),在x=X时边值条件为V(t,X)=0.因此,可得一维空间变量初边值条件的偏微分方程:

(7)

由C(t,S,I)=SV(t,x)可得V(t,x)是亚式期权价格的解.

本节主要描述算术平均亚式期权的边值问题,通过变量替换将亚式期权的二维空间变量偏微分方程降维为一维空间变量偏微分方程,并写出了亚式期权一维空间变量偏微分方程及其边值条件.

2 θ差分格式的构造

本节主要结合文献[12]的差分方法,构造了一种时间分数阶Black-Scholes模型下亚式期权的θ差分格式.

为了得到差分格式,结合式(7),将空间变量x进行截断可得时间分数阶Black-Scholes模型下亚式期权的偏微分方程[12]:

(8)

其中：0<α<1,时间微分采用右Riemann-Liouville微分[6]:

为了使上述时间微分满足差分方法,令t=T-τ,有:

(9)

模型式(8)通过变换U(τ,x)=V(T-τ,x)得[12]:

其中时间分数阶微分满足[6]:

(11)

注意U(τ,x)关于τ满足U(τ,x)∈C(1),从而令s=τ-η,对任意的0<α<1,则有:

(12)

接下来对式(10)的时间变量和空间变量进行等距网格划分,令:

τk=jΔt,j=0,1,2,…,N,xi=ih,i=0,1,2,…,M,

其中：Δt=T/N和h=X/M分别表示时间步长与空间步长,先对时间变量进行离散化,为了提高差分精度选择中心差分格式:

(13)

(14)

O(h2),

(15)

O(h2),

(17)

在点(τj,xi)的主方程式:

(18)

为了构造式(10)的θ差分格式,先将式(14)、(15)带入式(18)得式(10)古典显式格式:

O(Δt2-α+h2).

(19)

再将式(16)、(17)带入式(18)得式(10)古典隐式格式:

O(Δt2-α+h2).

(20)

通过对式(19)、(20)进行加权平均,构造如下的θ差分格式:

O(Δt2-α+h2).

(21)

其中：0<θ<1,当θ=1/2时,式(21)为时间分数阶Black-Scholes模型的C-N格式.

时间分数阶导数在点(τj,xi)上的离散格式[12](0<α<1):

U(τj-1-k,xi)]((k+1)1-α-k1-α)=

dmj-1U(τ0,xi)+O(Δt2-α).

(22)

将式(21)和式(22)进行结合并分类,且忽略误差,计算可得:

θ)(U(τj-1,xi+1)-U(τj-1,xi-1))+

θ(U(τj,xi+1)-U(τj,xi-1))]+

U(τj-1,xi-1))+θ(U(τj,xi+1)-2U(τj,xi)+

U(τj,xi-1))].

(23)

其中:

将上式变成最简形式:

(24)

再将上式改写成矩阵形式:

为了便于编程模拟,将上式写成最简形矩阵:

(25)

其中矩阵的参数表示:

本节主要讨论算术平均亚式期权问题,在时间变量上采用右Riemann-Liouville微分离散化,在空间变量上运用中心差分方法进行离散化,并得出时间分数阶Black-Scholes模型下亚式期权的古典显式差分格式和古典隐式差分格式,通过加权平均的思想,将亚式期权的古典显式差分格式和古典隐式差分格式进行加权平均得到θ差分格式,为了便于编程,将它写成最简形矩阵.

3 θ差分格式的理论分析

本节主要分析θ差分格式的唯一性、稳定性及其收敛性,并表明该差分方法对亚式期权是可行的.

3.1 θ差分格式的唯一性和稳定性

当aj<0,bj>0,cj<0且满足bj-|aj+cj|>0时,则矩阵G1是严格对角占优矩阵,当|G1|≠0时,G1是可逆矩阵,则系数矩阵G1为非奇异矩阵.

根据以上结论得出如下定理:

定理3.1时间分数阶Black-Scholes模型下亚式期权的θ差分格式(24)存在唯一性.

证明采用数学归纳法完成证明,

当j=1时,差分格式(24)可计算得:

当j>1时,差分格式(24)有:

当j=s时,再次对差分格式(24)用绝对值不等式可计算出:

3.2 θ差分格式的收敛性

本小节将分析θ差分格式的收敛性.

当j>1时,差分格式(24)有:

当j≤s时,均有:

因为

所以存在常数c>0,得:

从而命题结论成立.

4 数值模拟

本节主要受到文献[14]数值算例的启发,运用R软件对θ差分格式进行模拟,既验证差分格式的可行性,又对亚式期权进行价值分析,在数值模拟过程中,采用本文的θ差分格式来计算亚式期权的价格,通过改变到期日T来分析它们对期权价值的影响.

设定时间变量为10份,空间变量为10份,股票当前的价格S为10美元,无风险利率r为0.05,风险资产的波动率σ为0.3,其执行价格K为8美元,标的资产价格运行总和I为1美元,根据这些参数,由到期日T分别为1个月、3个月、6个月、9个月、12个月来绘制出股票价格与亚式期权价格的变化曲线图,及计算出亚式看涨期权价格,及其绘图所运算用的时间.

设α=2/3时,在不同的到期日下,根据改变参数θ(θ=1/3、1/2、2/3、1)绘出股票价格与期权价格的变化趋势如图1,取不同参数值计算亚式看涨期权的价格,计算结果如表1所示.

表1 α=2/3情形下亚式期权的价格

当α=2/3时,由表1可知,在相同的到期日T下,当参数θ增加时亚式期权的价值也在递增,在同参数θ下,到期日T增加其亚式期权的价值也在逐渐递增,而θ差分格式比显式差分格式(θ=0)和隐式差分格式(θ=1)运算用的时间要少,由图1,很明显期权价格的变化趋势是不断随着参数θ与到期日T的增加而逐渐在递增的,所以不管是从计算期权价值方面还是从运算所用的时间方面来看,θ差分格式均有效.

图1 不同T和θ下亚式期权的价格Figure 1 The Asian option price with different T and θ

设θ=1/2时,在不同的到期日T下,根据不同的参数α(α=1/3、1/2、2/3、1)绘制出股票价格与期权价格的变化趋势图(如图2),在相同的参数α下,取不同的到期日T来计算亚式看涨期权的价格,计算结果如表2所示.

表2 θ=1/2情形下亚式期权的价格

当θ=1/2时,由表2可知,当参数α=1/3时,到期日增加其亚式期权的价值也在逐渐递减,当参数α=1/2时,到期日T增加其亚式期权的价值先逐渐递减再逐渐递增,而当参数α=2/3时,到期日T增加其亚式期权的价值也在逐渐递增,而时间分数阶比整数阶运算的时间要少.由图2可知,期权价格的变化趋势是不断随着参数α和到期日T的增加而逐渐递增的,当参数α=1/3与α=1/2时,股票价格处于2附近,对于不同的到期日其期权价格有一个交叉点,在这点之后,当到期日T=1的期权价格要比其他不同到期日的期权价格要高,在这点之前却相反,当参数α=2/3与α=1时,不同的到期日的期权价值是在随着股票价值在逐渐增加的.

图2 不同T和α下的亚式期权价格Figure 2 The Asian option price with different T and α

本节针对于所研究的θ差分格式,选取不同的时间分数阶α和θ参数以及到期日T,观察亚式期权价值随着股票价值的变化趋势,由图1、2可看出,时间分数阶与整数阶的亚式期权价值变化趋势相似,由此可得,θ差分方法解决此类问题是可行的.由表1可以表明,θ差分格式的计算速度要比隐式差分格式(θ=1)快,由表2可得出,时间分数阶比整数阶的计算速度快,很容易可知时间分数阶要比整数阶更有效,数值模拟的结果与理论分析相符.

5 结 语

本文运用θ差分方法研究了时间分数阶Black-Scholes模型下亚式期权定价问题,采用显式差分格式和隐式差分格式通过加权平均的思想得出了θ差分格式,并利用数学归纳法证明了差分格式的唯一性、稳定性以及收敛性等问题,在R软件中分析的数值模拟结果和理论分析相符,说明差θ分方法求解时间分数阶Black-Scholes模型是可行的.在相同的Black-Scholes模型下,本文研究的方法对其他时间分数阶类型期权依然可进行研究,例如:时间分数阶美式期权定价以及时间分数阶支付红利期权定价等模型,可进一步研究快速数值方法,比如:并行差分方法以及显-隐和隐-显差分方法,使其能够在实际应用中发挥作用.