江苏省西亭高级中学 (226300) 瞿春波江苏省南通市通州区教师发展中心 (226300) 瞿国华

最近，笔者在命制学校组织的模考试卷时，意外发现某地一道高三联考题的解答存在错误，笔者认为有必要与“同行”一起研讨此题第(2)问之解答，并探究解决导数中零点问题的若干策略.

一、问题呈现

(1)若a=1，求f(x)在x=1处的切线方程；

(2)若f(x)有2个极值点，求实数a的取值范围.

二、错误解法(参考答案)

三、错解剖析

本题的参考答案是通过“分参”，再研究构造的新函数g(x)的大致图象，但问题在于：(1)当x→0+时，g(x)趋近于什么？这里说不清楚；(2)当x→+∞时，g(x)→+∞，此说法没有依据，所以无法确定g(x)图象向两边“发展”的趋势，导致解法错误.那么如何解决“导数中零点问题”解答题呢？笔者认为不可“分参”，而应“带参”取点研究.

四、正解探讨

下面证明：函数g(x)在(0,1)和(1,+∞)上各有一个零点.

五、类题再探

已知函数f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围.

下面证明：函数f(x)在(-∞，-lna)和(-lna,+∞)上各有一个零点.

①在(-∞，-lna)(-lna>0)上取点x1，使得f(x1)>0.

②在(-lna,+∞)(-lna>0)上取点x2，使得f(x2)>0.

六、取点策略

这里需明确指出，解决“导数中零点问题”解答题时，只能“带参”取点，不可分参作答.破解此类问题一般都要找寻函数零点,但很多时候零点难以直接求解,从而利用零点存在定理及取点证明解决.取点时，应遵循先试探，再变形，后求解的思维过程，不断尝试、不断调整，直至取点成功.

策略1直接取点，先猜后证

以“取点x0∈[m,+∞)，使得f(x0)>0”为例，可以依据下列条件直接取点：①该点自变量的值足够大且在[m,+∞)内；②该点应含参数(或某个数值)；③该点函数值为正(须证明)且易计算.

策略2适当变形，放缩取点

策略3分而治之，依次判定

以“取点x0∈[m,+∞)，使得f(x0)>0”为例，一般将函数式分成两部分，分别确定各部分函数值为正时自变量的范围，再取其范围的交集.“分而治之”的过程就是寻找使其成立的一个充分条件，逐个求解不等式，放缩的落脚点是使不等式可解、易解.很多由基本初等函数经过乘除而成的新函数，找点时，可采用此方法寻找充分条件.

波利亚认为：掌握数学就要善于解答一些要求独立思考、思路合理、见解独到和立意新颖的试题.这就需要细致分析和深入研究, 对所遇的新问题应透过现象看本质, 去粗取精、去伪存真、由表及里、由此及彼，只有回归问题的本质才能洞察其中的“奥秘”.

亚里士多德曾说:“思维从疑问和惊奇开始.”若将求知看作是一艘驶向新知识、新领域的轮船, 则质疑便是提供无限动力的发动机.疑问是探究的源泉, 是汲取知识的原动力，有疑惑就有探究,就有积极主动的思维活动.实践证明,质疑是教师一种能力,是开启创新之门的钥匙，面对“答案”，教师应挑战“权威”、独立思考、敢于提问、大胆质疑,从而提高自身的教学水平.