侯晓东 张继鹏

（泰山科技学院 数理教学部，山东 泰安 271000）

聚合算子广泛应用于多个领域，如：人工智能、信息融合及决策理论。条件分配性[1-8]作为两个聚合算子之间的一个重要性质，极具研究价值。作为信息论最优化中比较直接的应用，伪分析通常要求算子之间要满足一定的条件分配性方程[9，10]。

一致模和零模作为三角模、三角余模的两种推广，研究领域如：不同类一致模的结构、特征刻画、有关的吸收方程以及函数方程等。文献[9，10]研究了零模关于一致模的条件分配性方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F（x，z）），x、y、z∈[0，1]，0

关于零模F 关于一致模U的条件分配性方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F（x，z）），x、y、z∈[0，1]，0

文献[11]已给出取小、取大一致模时的完整解。在此基础上，本文讨论带有连续、阿基米德基础算子的一致模类的条件分配性方程。

1 预备知识

本节给出文中涉及到的概念及结论。

定义1：若二元函数U:[0，1]2→[0，1]，对于任意x、y、z∈[0，1]满足下列条件：

（1）U（x，y）=U（y，x）， （交换性）

（2）U（x，U（y，z））=U（U（x，y），z）， （结合性）

（3）U（x，y）≤U（x，z），y≤z （单调性）

（4）U（e，x）=x， （单位元e∈[0，1]）

称U为一致模，e 为一致模U的单位元。当e=1 时，一致U退化为三角模T；当e=0 时，一致模U退化为三角余模S。若U为带有单位元e∈]0，1[的一致模，根据定义可构造二元函数TU、SU:[0，1]2→[0，1]:[12]：

分别记公式（1）中的一致模为Umin，公式（2）中的一致模为Umax。

定理3：设U是带有单位元e∈]0，1[的一致模。TU与SU均为严格的，则下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；（iii）U是可表示一致模；

定理4：设U是带有单位元e∈]0，1[的一致模。TU为严格的，SU为幂零的，则下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；

定理5：设U是带有单位元e∈]0，1[的一致模。TU为幂零的，SU为严格的，则下列之一成立：

（i）U∈Umin；（ii）U∈Umax；

定理6：设U是带有单位元e∈]0，1[的一致模。TU与SU均为幂零的，则下列之一成立：

（ii）U∈Umin；（ii）U∈Umax。

下面介绍零模的概念及相关结论。

定义7[13]：设二元函数F:[0，1]2→[0，1]，满足交换性、结合性、非递减性，并且存在吸收元k∈[0，1]，即：

F（k，x）=k，x∈[0，1]，F（0，x）=k，其中x≤k；F（1，x）=k，其中x≥k；

称F 为零模。显然，当k=0 时，零模F 退化为三角模T；当k=1时，零模F 退化为三角余模T。

定理2.12[13]：设F 是带有吸收元k∈]0，1[的零模，则F 的结构如下：

其中：T为三角模，S为三角余模。

2 主要结论

基于具有连续基础算子的一致模，在给定基础算子类型的条件下研究方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F（x，z）），x、y、z [0，1]，0

讨论如下三种情况：TU和SU为幂等的或者阿基米德的；TU=min 且SU为连续的；

TU为连续的且SU=max。

定理2.1：设F 是带有吸收元k∈]0，1[的连续零模，一致模U具有连续基础三角模TU和基础三角余模SU，单位元e∈]0，1[。若连续零模F 与一致模U满足条件分配性方程：

F（x，U（y，z））=U（F（x，y），F（x，z）），x、y、z [0，1]，0

（i）e

其中：T2*是连续三角模，T2**是严格三角模，S2*和S2**是连续三角余模，S*是幂零三角余模，并且幂零三角余模S*中满足s（1）=1的加法生成子也是严格三角模T2**的乘法生成子。

（iii）e

因此，e 是零模F 的幂等元，从而其基础三角余模SF具有序和结构。

②区间[e，k]是一致模U的幂等元。令x∈]0，1[，y=z=e，代入（3）得

F（x，e）=F（x，U（e，e））=U（F（x，e），F（x，e））。

由于F 是连续的，{F（x，e）:x∈[0，1]}=[e，k]均是U的幂等元。所以，SU具有序和结构，对任意的（x，y）∈[0，e]2]k，1]2，有U（x，y）=max（x，y）。

由于TU=min，所以对任意的（x，y）∈[0，e]2，有U（x，y）=min（x，y），SF是连续三角余模。

③接下来讨论当（x，y）∈[k，1]2时，零模F 和一致模U 的结构。若存在a∈]k，1[是U的幂等元，则对任意的x∈]k，1[，有

F（x，a）=F（x，U（a，a））=U（F（x，a），F（x，a）），

由于F 是连续的，{F（x，a）:x∈[k，1]}=[k，a]都是U的幂等元。

若a=1，则x∈[k，1]是U 的幂等元：任意的（x，y）∈[e，1]2，有SU（x，y）=max（x，y）。由于任意的三角模都关于SU（x，y）=max（x，y）分配，所以TF为任意连续三角模。

若存在一致模U的最大非平凡幂等元a<1，则（ii）成立。

反之，通过计算得知：若零模F 和一致模U具有上述定理中的任何一种形式，则（3）显然成立。同理可证其它结论成立。

3 结论

本文讨论一类连续零模关于一致模的条件分配性方程，其中U为带有连续阿基米德基础算子的一致模。我们证明了基础三角余模TU=min 和基础三角余模SU=max时方程的非空解。在未来的工作中，我们计划讨论上述结论效用理论中的应用[13]。